Wnętrze zbioru wraz z jego brzegiem

W topologii istnieje prosta, ale bardzo ważna własność: suma wnętrza zbioru oraz jego brzegu jest równa jego domknięciu.

$$ \text{Int}(A) \cup \partial A = \text{Cl}(A) $$

Innymi słowy, każdy punkt należący do domknięcia zbioru jest albo punktem wewnętrznym, albo punktem brzegowym.

Przykład

Rozważmy zbiór \( A = (0,1) \) w przestrzeni topologicznej \(\mathbb{R}\) wyposażonej w topologię standardową.

Wnętrze zbioru \(A\) to otwarty przedział \( (0,1) \):

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

Domknięcie zbioru \(A\) jest przedziałem domkniętym \( [0,1] \), który zawiera również punkty brzegowe:

$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$

Brzeg zbioru \(A\) składa się z końców tego przedziału:

$$ \partial A = \{0,1\} $$

Jeżeli połączymy wnętrze zbioru z jego brzegiem, otrzymamy dokładnie jego domknięcie:

$$ \text{Int}(A) \cup \partial A = (0,1) \cup \{0,1\} = [0,1] $$

$$ \text{Int}(A) \cup \partial A = \text{Cl}(A) $$

Przykład ten dobrze pokazuje ogólną zasadę: każdy punkt domknięcia zbioru należy albo do jego wnętrza, albo do jego brzegu. Co więcej, te dwa zbiory nie mają wspólnych punktów.

Dowód

Aby wykazać tę równość w sposób ścisły, przypomnijmy podstawowe definicje używane w topologii.

1. Wnętrze zbioru \(A\) (\( \text{Int}(A) \))
   Jest to zbiór wszystkich punktów należących do \(A\), dla których istnieje otoczenie w całości zawarte w \(A\).
2. Domknięcie zbioru \(A\) (\( \text{Cl}(A) \))
   Jest to najmniejszy zbiór domknięty zawierający \(A\). Składa się on z punktów należących do \(A\) oraz wszystkich punktów przylegania do \(A\). Zachodzi równość: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \]
3. Brzeg zbioru \(A\) (\( \partial A \))
   Jest to zbiór punktów należących jednocześnie do domknięcia zbioru \(A\) oraz do domknięcia jego dopełnienia: \[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]

Niech \(A \subseteq X\) będzie dowolnym podzbiorem przestrzeni topologicznej.

Z definicji wynika, że domknięcie zbioru \(A\) można zapisać w postaci:

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Wiadomo również, że wnętrze zbioru i jego brzeg są rozłączne:

$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$

Oznacza to, że powyższa suma jest sumą rozłączną i dokładnie pokrywa domknięcie zbioru.

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Q.E.D.