A fronteira como interseção das aderências de \(A\) e de seu complementar
Seja \( A \) um subconjunto de um espaço topológico \( X \). A fronteira \( \partial A \) é o conjunto dos pontos que pertencem ao mesmo tempo ao fecho de \( A \) e ao fecho de seu complementar. $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
De forma intuitiva, a fronteira reúne os pontos que ficam no limite entre um conjunto e o seu exterior. São pontos que não podem ser isolados apenas dentro de \( A \) nem apenas dentro de \( X \setminus A \). Qualquer vizinhança aberta ao redor deles toca os dois lados. Essa é a razão pela qual pertencem aos dois fechamentos.
A expressão \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\) resume essa ideia com precisão. Ela mostra que a fronteira é composta exatamente pelos pontos aderentes a ambos os conjuntos.
Exemplo
Tomemos o intervalo aberto \( A = (0, 1) \) na reta real \(\mathbb{R}\). Ele não inclui as extremidades, mas a sua aderência inclui:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
O complementar de \( A \) é \( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \). Ele já vem fechado, portanto:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
A fronteira é a interseção desses dois fechamentos:
$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Assim, a fronteira do intervalo aberto \( (0, 1) \) consiste nos pontos \( 0 \) e \( 1 \). Mesmo que o conjunto em si não os contenha, eles são pontos de acumulação no sentido topológico.
Demonstração
Em topologia, define-se a fronteira de \( A \) como o conjunto dos pontos cujas vizinhanças encontram tanto \( A \) quanto o complementar:
$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{e}\ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$
Para trabalhar com essa definição, vamos relembrar rapidamente o conceito de fecho.
- O fecho de \( A \) é o conjunto dos pontos que não podem ser separados de \( A \) por vizinhanças abertas:
\[ \text{Cl}(A) = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \} \] - O mesmo vale para o fecho do complementar:
\[ \text{Cl}(X \setminus A) = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} \]
Com isso em mãos, podemos mostrar a igualdade entre a definição pela fronteira e a caracterização pelos fechamentos.
1. Todo ponto da fronteira pertence aos dois fechamentos
Se \( x \in \partial A \), qualquer vizinhança de \( x \) intersecta \( A \) e também o complementar. Isso garante que:
- as vizinhanças de \( x \) encontram \( A \), logo \( x \in \text{Cl}(A) \)
- as vizinhanças de \( x \) encontram o complementar, logo \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \)
Portanto:
$$ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
2. Todo ponto dos dois fechamentos pertence à fronteira
Agora suponha que \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \). Isso significa que toda vizinhança de \( x \) encontra os dois conjuntos. Logo:
$$ x \in \partial A $$
o que prova a inclusão inversa:
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A $$
Conclusão
As duas inclusões juntas dão a igualdade:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$
Essa caracterização é particularmente útil porque transforma a definição via vizinhanças, mais operacional, numa descrição puramente em termos de fechamentos. Isso oferece uma visão mais estrutural da fronteira e facilita muitos argumentos em topologia.
