A fronteira de um conjunto é sempre um conjunto fechado

A fronteira de um conjunto é sempre um conjunto fechado. Isso acontece porque ela é definida como a interseção entre a aderência de $A$ e a aderência do seu complementar. $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$

Num espaço topológico $X$, a fronteira de um conjunto $A$ surge precisamente quando consideramos o que pertence simultaneamente à aderência de $A$ e à aderência de $X - A$. Em outras palavras, trata-se dos pontos que não podem ser classificados como exclusivamente internos ou externos a $A$. A definição formal é: $\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)$.

Como a interseção de dois conjuntos fechados também é um conjunto fechado, segue naturalmente que a fronteira $\partial A$ é sempre um fechado.

Exemplo
Demonstração

Exemplo

Para visualizar melhor essa ideia, tomemos o espaço real $\mathbb{R}$ com a topologia usual, onde os abertos são intervalos abertos.

Considere $A = (0, 1)$, o intervalo aberto entre 0 e 1.

A aderência de $A$, indicada por $Cl(A)$, é o intervalo fechado $[0, 1]$. Ele inclui todos os pontos de $A$ e os limites do intervalo, 0 e 1, que funcionam como pontos de acumulação.

O complementar de $A$ em $\mathbb{R}$ é:

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Esse conjunto já é fechado, portanto sua aderência coincide com ele próprio:

$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

A fronteira de $A$ é o que sobra ao cruzarmos essas duas aderências:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) = \{0, 1\} $$

Assim, a fronteira de $A$ é formada exatamente pelos pontos 0 e 1. Esses pontos marcam a transição entre pertencer ao intervalo e estar fora dele, e constituem um conjunto fechado em $\mathbb{R}$.

Demonstração

A razão por trás desse resultado está em conceitos básicos da topologia.

Em qualquer espaço topológico $X$, a aderência de um conjunto $A$ é sempre um conjunto fechado. Ela representa o menor fechado que contém $A$, reunindo todos os seus pontos e todos os seus limites.

O complementar $X - A$, por sua vez, é aberto se $A$ for fechado, e o oposto também vale.

Dado isso, a fronteira de $A$ é definida por:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$

Uma propriedade fundamental da topologia afirma que a interseção finita de conjuntos fechados é sempre um fechado. Isso resolve o problema de forma direta:

$Cl(A)$ é fechado.
$Cl(X - A)$ também é fechado.
A interseção dos dois, $Cl(A) \cap Cl(X - A)$, é portanto um conjunto fechado.

Daí concluímos que, independentemente do conjunto $A$ considerado, a sua fronteira é sempre um fechado. Trata-se de um resultado simples, elegante e extremamente útil para compreender como os conjuntos se comportam num espaço topológico.

A partir daqui, é possível avançar para outras propriedades das fronteiras e explorar como elas se relacionam com interior, exterior e aderência.