A fronteira está contida em A se, e somente se, A é um conjunto fechado

A fronteira \( \partial A \) de um conjunto \( A \) está incluída em \( A \) se, e somente se, \( A \) é um conjunto fechado. Esta é uma das caracterizações mais diretas e intuitivas da noção de conjunto fechado em topologia. \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ é fechado} \]

Exemplo prático

Exemplo 1

Considere \( A \), o disco fechado de raio 1 centrado na origem de \(\mathbb{R}^2\). É um dos exemplos mais simples e úteis para visualizar o conceito.

$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 $$

A fronteira de \( A \) é o círculo de raio 1:

$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Como todos os pontos do círculo pertencem ao próprio disco fechado, vale:

$$ \partial A \subseteq A $$

Isso confirma que \( A \) é um conjunto fechado.

Exemplo 2

Agora considere \( B \), o disco aberto de raio 1, também centrado na origem:

$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 $$

A fronteira continua sendo o mesmo círculo:

$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$

Desta vez, porém, nenhum ponto da fronteira pertence ao conjunto:

$$ \partial B \nsubseteq B $$

Por isso, \( B \) não é um conjunto fechado.

Esses exemplos ajudam a fixar uma ideia fundamental. Conjuntos fechados incluem a sua fronteira. Conjuntos abertos não.

Demonstração

A seguir apresentamos a justificativa teórica, mantendo o foco nos passos essenciais.

1] Se a fronteira de \( A \) está incluída em \( A \), então \( A \) é fechado

Suponha que \( \partial A \subseteq A \). Isso significa que todo ponto que pertence simultaneamente ao fecho de \( A \) e ao fecho do complemento \( A^c \) está dentro do próprio conjunto.

Lembrando a identidade:

$$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} $$

segue que \( A \) contém todos os seus pontos aderentes. Esta é precisamente a definição de conjunto fechado.

2] Se \( A \) é fechado, então \( \partial A \subseteq A \)

Agora suponha que \( A \) seja fechado. Assim, o fecho de \( A \) coincide com o próprio conjunto:

$$ A = \text{Cl}(A) $$

Retomando a definição da fronteira:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$

e substituindo, obtemos:

$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$

Portanto, a fronteira é formada por pontos que pertencem a \( A \) e que ao mesmo tempo são limites do seu complemento. Consequentemente, todos esses pontos pertencem a \( A \).

3] Conclusão

Chegamos à equivalência central: a fronteira está incluída no conjunto se, e somente se, o conjunto é fechado.

É uma caracterização simples, elegante e amplamente utilizada em topologia.