A propriedade monótona do operador de fecho
A propriedade monótona do fecho afirma que, se \( A \) e \( B \) são conjuntos quaisquer (não necessariamente fechados) e se vale \( A \subseteq B \), então o fecho de \( A \) está automaticamente contido no fecho de \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
É um resultado simples de formular e bastante natural no contexto da Topologia. Na prática, aparece tantas vezes que costuma ser aceito quase sem pensar.
Para visualizar a ideia, imagine uma caixa colocada dentro de outra maior. Ao fechar a caixa maior, tudo o que está dentro dela permanece incluído, e isso vale também para a caixa menor colocada no seu interior. O fecho funciona de maneira semelhante.
Exemplo ilustrativo
Tomemos como referência o espaço topológico \( \mathbb{R} \) com a topologia usual, aquela que usamos no dia a dia da análise matemática.
Nesse espaço, os abertos são precisamente os intervalos abertos, como \((a, b)\).
Considere agora dois subconjuntos de \( \mathbb{R} \):
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
É imediato que \( A \subseteq B \), pois cada ponto entre \(0\) e \(1\) está também dentro do intervalo maior \([0, 2]\):
\[ A \subseteq B \]
Fecho de \( A \)
O conjunto \( A \) é um intervalo aberto. Para obter o seu fecho, acrescentamos os pontos de aderência, isto é, os pontos que podem ser tocados por sequências de elementos de \( A \).
No caso de \( (0, 1) \), os pontos de aderência são exatamente \( 0 \) e \( 1 \), pois qualquer vizinhança destes pontos contém elementos de \( A \).
Assim, o fecho é:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
Fecho de \( B \)
Já o conjunto \( B \) é \([0, 2]\), um intervalo fechado. Ele já contém todos os seus pontos de aderência, portanto não há nada a acrescentar.
O fecho coincide com o próprio conjunto:
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
Conclusão
Comparando \([0, 1]\) e \([0, 2]\), vemos que o fecho de \( A \) está contido no fecho de \( B \). Portanto:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Este pequeno exemplo mostra, de forma direta, como funciona a propriedade monótona do fecho.
Demonstração formal
Partimos da inclusão:
\[ A \subseteq B \]
Lembramos que um ponto \( x \) pertence ao fecho de \( A \) quando toda vizinhança de \( x \) intersecta \( A \).
Se toda vizinhança de \( x \) intersecta \( A \), e se \( A \subseteq B \), então essas mesmas vizinhanças também intersectam \( B \). Isso implica:
\[ x \in \text{Cl}(A) \implies x \in \text{Cl}(B) \]
Logo, todos os pontos do fecho de \( A \) pertencem também ao fecho de \( B \). Concluímos que:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Existe ainda uma leitura mais abstrata, baseada numa caracterização clássica: o fecho de um conjunto é a interseção de todos os conjuntos fechados que o contêm.
Se \( A \subseteq B \), então qualquer conjunto fechado que contenha \( B \) contém também \( A \). Por isso, a interseção de todos os fechados que contêm \( B \), isto é, \( \text{Cl}(B) \), inclui necessariamente a interseção dos fechados que contêm \( A \), isto é, \( \text{Cl}(A) \).
Assim, obtemos novamente a mesma conclusão:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Temos então uma demonstração clara, acessível e rigorosa da propriedade monótona do operador de fecho.
