Associatividade do Produto Cartesiano de Espaços Topológicos

Sejam $X$, $Y$ e $Z$ espaços topológicos. Os seguintes produtos $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ são topologicamente equivalentes, isto é, são mutuamente homeomorfos: $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Em outras palavras, independentemente da forma como os fatores são associados em um produto cartesiano, o espaço topológico resultante permanece inalterado do ponto de vista topológico.

De maneira equivalente, diz-se que o produto cartesiano de espaços topológicos é uma operação associativa, no sentido de que diferentes associações dos fatores conduzem sempre a espaços homeomorfos.

Observação: Essa propriedade é particularmente relevante, pois permite manipular produtos de vários espaços topológicos sem a necessidade de se preocupar com o modo de associação dos fatores, já que a topologia obtida é sempre a mesma, a menos de homeomorfismo.

Um Exemplo Concreto

Para ilustrar a associatividade do produto cartesiano, consideremos espaços familiares, como $\mathbb{R}$, munido da topologia usual, e $\mathbb{R}^2$, o plano cartesiano equipado com a topologia produto.

Tomemos três cópias do espaço $\mathbb{R}$:

$X = \mathbb{R}$
$Y = \mathbb{R}$
$Z = \mathbb{R}$

Analisemos, então, diferentes maneiras de formar o produto desses espaços:

Produto $(X \times Y) \times Z$
Inicialmente, forma-se $X \times Y$, que corresponde ao plano $\mathbb{R}^2$. Em seguida, ao tomar o produto com $Z$, obtém-se $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$, cujos elementos são triplas da forma $((x, y), z)$, com $x, y, z \in \mathbb{R}$. Esse espaço é homeomorfo a $\mathbb{R}^3$.
Produto $X \times (Y \times Z)$
Nesse caso, começa-se por $Y \times Z = \mathbb{R}^2$ e, em seguida, toma-se o produto com $X$, obtendo $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$. Os elementos desse espaço são triplas da forma $(x, (y, z))$. Novamente, o espaço resultante é homeomorfo a $\mathbb{R}^3$.
Produto $X \times Y \times Z$
Por fim, pode-se considerar diretamente o produto dos três espaços, obtendo-se as triplas $(x, y, z)$, com $x, y, z \in \mathbb{R}$. Esse espaço é, de maneira natural, homeomorfo a $\mathbb{R}^3$.

Em todos os casos considerados, o espaço topológico obtido é homeomorfo a $\mathbb{R}^3$.

Assim, a forma de agrupar os fatores, bem como a ordem em que os produtos são realizados, não exerce qualquer influência sobre a topologia final do espaço obtido, confirmando a associatividade do produto cartesiano no contexto da topologia.

Esse exemplo evidencia, de modo claro e concreto, que qualquer que seja a associação escolhida, o produto cartesiano dos espaços conduz sempre ao mesmo espaço topológico, a menos de homeomorfismo.