Complementaridade entre o interior e o fecho de um conjunto
Em topologia, existe uma relação elegante entre o interior e o fecho de um conjunto. Essa propriedade afirma que o interior do complementar de um conjunto \( A \) é igual ao complementar do fecho de \( A \): $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Um exemplo simples
Para entender essa ideia de forma concreta, consideremos um exemplo clássico: a reta real \(\mathbb{R}\) com a sua topologia usual, onde os abertos são intervalos abertos.
Seja \( A = [0,1] \), um intervalo fechado.
$$ A = [0,1] $$
O complementar de \( A \) em \(\mathbb{R}\) é formado pelos pontos que estão fora do intervalo:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
O interior de \( \mathbb{R} - A \), indicado por \( \text{Int}(\mathbb{R} - A) \), é o conjunto dos seus pontos interiores. Como \( (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \) já é aberto, o seu interior é ele mesmo:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Agora, vejamos o fecho de \( A \). O fecho de um conjunto \( A \), denotado por \( \text{Cl}(A) \), é o menor conjunto fechado que o contém, ou seja, \( A \) junto com todos os seus pontos de acumulação.
Como \( A \) já é fechado, o seu fecho é o próprio conjunto:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
O complementar desse fecho em \(\mathbb{R}\) é:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Comparando os dois resultados, vemos que:
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
Os dois conjuntos são idênticos, o que confirma a propriedade:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Esse exemplo mostra de forma intuitiva como interior e fecho se complementam dentro da estrutura topológica.
Entendendo a demonstração
Seja \( A \) um subconjunto de um espaço topológico \( X \). Queremos provar que:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Para isso, vamos relembrar duas definições básicas:
- O interior de um conjunto \( B \), denotado por \( \text{Int}(B) \), é o conjunto dos pontos de \( B \) que possuem uma vizinhança completamente contida em \( B \).
- O fecho de um conjunto \( A \), denotado por \( \text{Cl}(A) \), é o menor conjunto fechado que contém \( A \), ou seja, \( A \) mais todos os seus pontos de acumulação.
A prova se baseia em duas inclusões simples, que se complementam:
1. Mostrando que \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Seja \( x \in \text{Int}(X - A) \). Isso significa que existe uma vizinhança \( U \) de \( x \) tal que \( U \subseteq X - A \).
Logo, \( U \cap A = \emptyset \), ou seja, \( U \) não contém nenhum ponto de \( A \).
Se \( x \) fosse um ponto de acumulação de \( A \), qualquer vizinhança de \( x \) conteria algum ponto de \( A \), o que contradiz \( U \cap A = \emptyset \).
Portanto, \( x \notin \text{Cl}(A) \), e assim \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Temos então:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
2. Mostrando que \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Seja \( x \in X - \text{Cl}(A) \). Isso quer dizer que \( x \) não pertence a \( A \) nem é ponto de acumulação de \( A \).
Existe, portanto, uma vizinhança \( U \) de \( x \) tal que \( U \cap A = \emptyset \).
Assim, \( U \subseteq X - A \), o que implica que \( x \in \text{Int}(X - A) \).
Logo:
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
3. Conclusão
Como as duas inclusões são verdadeiras, concluímos que:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Essa igualdade expressa de forma precisa a relação de complementaridade entre o interior e o fecho de um conjunto em qualquer espaço topológico.
