Fecho do Complemento e Complemento do Interior de um Conjunto
Em topologia, existe uma relação muito elegante entre dois conceitos fundamentais: o fecho e o interior de um conjunto. Essa relação pode ser expressa pela fórmula: $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Em outras palavras, o fecho do complemento de um conjunto \( A \) é exatamente igual ao complemento do interior de \( A \). Essa igualdade mostra a profunda simetria entre as operações topológicas de fecho e interior, quando aplicadas a conjuntos complementares.
Um Exemplo Prático
Vamos considerar o espaço topológico \( X = \mathbb{R} \), com a topologia usual, em que os conjuntos abertos são uniões de intervalos abertos.
Se tomarmos o conjunto \( A = [1,2] \), podemos verificar essa igualdade passo a passo.
1] Fecho do Complemento de \( A \)
O complemento de \( A \) em \( \mathbb{R} \) é dado por: $$ X - A = \mathbb{R} - [1,2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Para encontrar o seu fecho, precisamos incluir os pontos de aderência, isto é, os pontos que "tocam" o conjunto sem necessariamente pertencer a ele.
Os pontos \( 1 \) e \( 2 \) são justamente desses tipos: toda vizinhança de \( 1 \) contém pontos de \( (-\infty,1) \), e o mesmo ocorre com \( 2 \) em relação a \( (2,\infty) \).
Assim, o fecho do complemento é: $$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Complemento do Interior de \( A \)
O interior de \( A = [1,2] \) é o maior aberto contido em \( A \): $$ \text{Int}(A) = (1,2) $$
O complemento desse interior é, portanto: $$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1,2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Comparando os Resultados
Os dois conjuntos obtidos são idênticos: $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Isso confirma a relação que queríamos demonstrar.
Explicação Detalhada
Em termos gerais, seja \( A \subseteq X \) um subconjunto de um espaço topológico \( X \).
O fecho do complemento de \( A \) contém todos os pontos de \( X - A \) e também os seus pontos de aderência:
$$ \text{Cl}(X - A) $$
Por outro lado, o complemento do interior de \( A \) inclui todos os pontos que não pertencem ao interior de \( A \):
$$ X - \text{Int}(A) $$
Para provar que as duas expressões são iguais, analisamos as duas inclusões separadamente.
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Se um ponto \( x \) pertence a \( \text{Cl}(X - A) \), então toda vizinhança de \( x \) contém algum ponto de \( X - A \). Logo, \( x \) não pode estar no interior de \( A \), pois nesse caso haveria uma vizinhança de \( x \) totalmente contida em \( A \). Portanto, \( x \in X - \text{Int}(A) \). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Se \( x \in X - \text{Int}(A) \), então \( x \) não é interior a \( A \). Isso significa que toda vizinhança de \( x \) contém algum ponto que não pertence a \( A \), ou seja, um ponto de \( X - A \). Assim, \( x \in \text{Cl}(X - A) \).
Como ambas as inclusões são verdadeiras, obtemos a igualdade desejada:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Interpretação
Essa propriedade mostra que fecho e interior são operações complementares entre si. O fecho adiciona pontos-limite, enquanto o interior remove as fronteiras. Quando aplicadas a conjuntos complementares, essas duas operações se refletem uma na outra de forma perfeita.
Com isso, vemos como a topologia revela simetrias sutis entre operações aparentemente distintas, mas intimamente ligadas pela estrutura do espaço.
