Fronteira vazia e conjuntos clopen
Em topologia, a fronteira \(\partial A\) de um conjunto \(A\) é vazia se, e somente se, o conjunto é ao mesmo tempo aberto e fechado (clopen): $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ é clopen} $$ Essa caracterização simples revela um critério muito útil para identificar conjuntos com comportamento topológico particularmente regular.
Quando dizemos que um conjunto não tem fronteira, afirmamos que não existe ponto que esteja simultaneamente encostado em \(A\) e no seu complementar. Em outras palavras, o conjunto não apresenta "bordas" que separam o interior do exterior.
Exemplos
Exemplo 1
Comecemos pelo caso mais simples: o conjunto vazio \( A = \emptyset \) em \(\mathbb{R}\) com a topologia usual.
A sua aderência é:
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
O complementar é todo o espaço, um conjunto fechado, portanto:
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
A fronteira resulta da interseção dessas aderências:
$$ \partial A = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
O conjunto vazio é, assim, um exemplo típico de conjunto clopen. Ele é aberto por definição e fechado por conter todos os seus pontos de aderência.
Exemplo 2
Consideremos agora o espaço inteiro \( A = \mathbb{R} \).
A aderência é o próprio \(\mathbb{R}\):
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
O complementar é vazio, cuja aderência também é vazia:
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Logo:
$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
Mais um conjunto clopen. Esse exemplo destaca que conjuntos trivialmente estruturados podem, ainda assim, ilustrar propriedades importantes.
Exemplo 3
Agora analisemos um caso mais interessante: \(A = [0,1)\) em \(\mathbb{R}\).
Sua aderência é:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
O complementar é formado por dois intervalos:
$$ A^c = (-\infty,0) \cup [1,\infty) $$
cuja aderência é:
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$
A fronteira de \(A\) emerge como:
$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty,0] \cup [1,\infty) \right) = \{0,1\} $$
Como a fronteira contém pontos, \(A\) não é clopen. Trata-se de um intervalo semiaberto, um tipo de conjunto cuja estrutura naturalmente produz fronteiras.
Esses exemplos mostram como a presença ou ausência de fronteira é um excelente indicador do comportamento topológico de um conjunto.
Demonstração
A definição formal da fronteira é:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Com ela é possível demonstrar de maneira direta a equivalência:
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ é clopen} $$
1] Quando a fronteira é vazia
Se:
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
então as duas aderências não compartilham pontos.
Fechado:
A hipótese implica:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq (\text{Cl}(A^c))^c \subseteq (A^c)^c = A $$
Sabendo que sempre vale \(A \subseteq \text{Cl}(A)\), concluímos:
$$ \text{Cl}(A) = A $$
Logo, \(A\) é fechado.
Aberto:
Pelo mesmo raciocínio:
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
Assim, \(A^c\) é fechado e, portanto, \(A\) é aberto.
Quando a fronteira é vazia, o conjunto é simultaneamente aberto e fechado.
2] Quando o conjunto é clopen
Se \(A\) é clopen, temos:
$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$
Portanto:
$$ \partial A = A \cap A^c = \emptyset $$
A fronteira é necessariamente vazia, como previsto.
3] Conclusão
Chegamos assim ao resultado central: $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ é clopen} $$ Essa equivalência sintetiza de forma elegante a ligação entre fronteira, abertura e fechamento, e é uma ferramenta recorrente no estudo de topologia.
