Inclusão dos Interiores em Topologia
Quando um conjunto \( A \) está contido em outro conjunto \( B \), o interior de \( A \) também está contido no interior de \( B \): $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Essa propriedade é uma consequência direta da definição de interior: todo conjunto aberto incluído em \( A \) também estará incluído em \( B \). Em termos simples, o operador interior mantém a relação de inclusão entre conjuntos.
Exemplo Prático
Vamos considerar dois subconjuntos de \( \mathbb{R} \) com a topologia usual:
$$ A = [1, 3] $$
$$ B = [0, 4] $$
É fácil perceber que \( A \subseteq B \):
$$ A \subseteq B $$
Na topologia de \( \mathbb{R} \), o interior de um conjunto é formado pela união de todos os abertos contidos nele. Vamos ver o que isso significa nesse caso:
- Interior de A
O conjunto \( A = [1, 3] \) contém o intervalo aberto \( (1, 3) \). Assim:
\[ \text{Int}(A) = (1, 3) \] - Interior de B
Da mesma forma, \( B = [0, 4] \) contém o aberto \( (0, 4) \). Portanto:
\[ \text{Int}(B) = (0, 4) \]
Comparando os dois, notamos que \( (1, 3) \) está completamente contido em \( (0, 4) \). Ou seja:
$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Esse exemplo simples mostra como a relação de inclusão entre conjuntos se reflete na relação entre seus interiores. O raciocínio vale não apenas em \( \mathbb{R} \), mas em qualquer espaço topológico.
Demonstração
Sejam \( A \) e \( B \) dois subconjuntos de um espaço topológico \( X \), com \( A \subseteq B \).
Por definição, o interior de um conjunto \( A \), indicado por \( \text{Int}(A) \), é a união de todos os conjuntos abertos contidos em \( A \). Ele representa o maior aberto incluído em \( A \).
Como \( A \subseteq B \), qualquer aberto contido em \( A \) também estará contido em \( B \). Isso significa que \( \text{Int}(A) \) é um aberto incluído em \( B \).
Sabendo que \( \text{Int}(B) \) é o maior aberto contido em \( B \), concluímos que:
$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Portanto, o operador interior é monótono: ele preserva a ordem de inclusão entre conjuntos. Em outras palavras, se um conjunto está contido em outro, o mesmo vale para seus interiores.
Essa é uma das propriedades fundamentais do operador interior em topologia, e mostra como as relações entre conjuntos são mantidas sob operações topológicas básicas.
