Interseção da fronteira com o interior de um conjunto
A interseção da fronteira \( \partial A \) com o interior \( \text{Int}(A) \) de um conjunto é sempre vazia: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Essa propriedade é um dos fatos básicos da topologia e ajuda a compreender, de forma clara, como se relacionam as noções de interior e de fronteira de um conjunto. Embora simples, ela aparece com frequência em cursos universitários e serve como ponto de partida para resultados mais gerais.
Exemplo concreto
Trabalhemos no espaço topológico \(\mathbb{R}\), munido da topologia usual, em que os conjuntos abertos são os intervalos abertos.
Considere o conjunto \(A = (0, 1)\), ou seja, o intervalo aberto entre 0 e 1.
O interior de \(A\) é formado pelos pontos que possuem uma vizinhança inteiramente contida em \(A\). Nesse caso, todos os pontos do intervalo satisfazem essa condição, logo:
$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$
O fecho de \(A\), denotado por \( \text{Cl}(A) \), inclui o próprio conjunto e os seus pontos de acumulação. Para o intervalo considerado, esses pontos são exatamente as extremidades 0 e 1:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
O complementar de \(A\) em \(\mathbb{R}\) é:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Como esse complementar é um conjunto fechado, o seu fecho coincide com ele mesmo:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
A fronteira de \(A\) é definida como a interseção entre os fechos de \(A\) e do seu complementar:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap \big((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\big) $$
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Se agora intersectarmos a fronteira com o interior de \(A\), obtemos:
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Isso mostra de forma direta que nenhum ponto pode pertencer simultaneamente ao interior e à fronteira do conjunto. Os pontos do interior estão “totalmente dentro”, enquanto os pontos da fronteira ficam exatamente no limite.
Este exemplo simples confirma, de maneira concreta, a propriedade geral:
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Demonstração
A validade dessa propriedade pode ser estabelecida de modo rigoroso a partir das definições fundamentais da topologia geral.
Por definição, a fronteira de um conjunto \(A\) é dada por:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$
Um ponto pertence à fronteira de \(A\) quando toda vizinhança desse ponto intersecta tanto o conjunto \(A\) quanto o seu complementar. Intuitivamente, são pontos que não estão nem completamente dentro, nem completamente fora do conjunto.
Já o interior \( \text{Int}(A) \) é formado pelos pontos que admitem pelo menos uma vizinhança inteiramente contida em \(A\). Esses são os pontos estritamente internos ao conjunto.
Suponha que \(x \in \partial A\). Então:
- \(x \in \text{Cl}(A)\), o que garante que toda vizinhança de \(x\) intersecta \(A\);
- \(x \in \text{Cl}(X - A)\), o que implica que toda vizinhança de \(x\) intersecta também o complementar.
Consequentemente, nenhuma vizinhança de \(x\) pode estar contida inteiramente em \(A\). Logo:
$$ x \notin \text{Int}(A) $$
Por outro lado, se \(y \in \text{Int}(A)\), existe uma vizinhança de \(y\) totalmente contida em \(A\). Essa vizinhança não pode intersectar o complementar \(X - A\), o que implica:
$$ y \notin \text{Cl}(X - A) \Rightarrow y \notin \partial A $$
Conclui-se, assim, que a fronteira e o interior de um conjunto não têm pontos em comum:
$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$
Q.E.D.
