Interseção de conjuntos abertos na topologia quociente
Numa topologia quociente, a pré-imagem de uma interseção finita de conjuntos abertos \( U_i \) coincide com a interseção das respetivas pré-imagens. Essas pré-imagens são abertas na topologia inicial de \( X \): $$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Como consequência direta, qualquer interseção finita de conjuntos abertos continua a ser um conjunto aberto na topologia quociente.
Exemplo concreto
Consideremos o espaço quociente clássico \( A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), que pode ser entendido de forma intuitiva como um círculo.
O espaço de partida é \( \mathbb{R} \), equipado com a sua topologia usual. A aplicação quociente \( p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} \) associa a cada número real a sua parte fracionária.
Nesta construção, o espaço quociente pode ser representado pelo intervalo semiaberto [0,1), no qual os pontos 0 e 1 são identificados.
Por exemplo, os números reais 0,3, 1,3 e 2,3 correspondem todos ao mesmo ponto 0,3 no círculo.
Consideremos agora dois conjuntos abertos do espaço quociente \( A \):
$$ U_1 = (0,1, 0,5) $$
$$ U_2 = (0,3, 0,7) $$
Esses intervalos são efetivamente conjuntos abertos em \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \), isto é, na topologia quociente considerada.
A interseção desses conjuntos é dada por:
$$ U_1 \cap U_2 = (0,3, 0,5) $$
Trata-se de um intervalo aberto estritamente contido no círculo e, portanto, de um conjunto aberto do quociente \( A \).
Analisemos agora as pré-imagens desses conjuntos em \( \mathbb{R} \). Cada uma delas é formada por uma união infinita de intervalos abertos, distribuídos periodicamente ao longo da reta real:
$$ p^{-1}(U_1) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0,1,\ n + 0,5) $$
$$ p^{-1}(U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0,3,\ n + 0,7) $$
A interseção dessas pré-imagens fornece exatamente a pré-imagem da interseção dos conjuntos iniciais:
$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0,3,\ n + 0,5) $$
Obtém-se, assim, uma família infinita de intervalos abertos, dois a dois disjuntos, que forma um conjunto aberto na topologia usual de \( \mathbb{R} \).
Como a pré-imagem de \( U_1 \cap U_2 \) é um conjunto aberto em \( \mathbb{R} \), conclui-se que a própria interseção \( U_1 \cap U_2 \) é um conjunto aberto na topologia quociente \( \mathbb{R}/\mathbb{Z} \).
Este exemplo ilustra de forma concreta que a interseção finita de conjuntos abertos num espaço quociente permanece um conjunto aberto, uma propriedade fundamental e coerente com os axiomas de uma topologia.
O mesmo raciocínio aplica-se, sem alterações, a qualquer família finita de conjuntos abertos.
