Interseção dos interiores de dois conjuntos

A interseção dos interiores de dois conjuntos \( A \) e \( B \) é igual ao interior da sua interseção: $$ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) $$

Em termos simples, o interior da interseção de dois conjuntos coincide exatamente com a interseção dos seus interiores. Essa é uma propriedade importante na topologia, pois mostra como o comportamento “interno” dos conjuntos se preserva quando eles se cruzam.

Intuitivamente, os pontos que estão dentro de \( A \) e ao mesmo tempo dentro de \( B \) são precisamente aqueles que pertencem ao interior de \( A \cap B \). Nenhum ponto de fronteira é incluído.

Antes de continuar, vale relembrar dois conceitos essenciais:

• Interior de um conjunto (\(\text{Int}(A)\)): é o conjunto dos pontos de \( A \) que possuem uma vizinhança aberta inteiramente contida em \( A \). Em outras palavras, são os pontos realmente “dentro” do conjunto, sem tocar a sua borda.
• Interseção (\(\cap\)): é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a \( A \) e a \( B \).

Assim, ao cruzar os interiores de \( A \) e \( B \), obtemos exatamente o interior da região em que eles se sobrepõem.

Exemplo visual

Imagine dois discos \( A \) e \( B \) que se sobrepõem parcialmente. O interior de cada disco corresponde à área interna, sem incluir o contorno.

Ao considerar a interseção dessas duas áreas internas, encontramos exatamente a parte interior da zona comum entre \( A \) e \( B \).

Como demonstrar a propriedade

Para provar a igualdade, é preciso mostrar que cada lado está contido no outro. Ou seja, provar as duas inclusões.

1] Primeira inclusão (\(\subseteq\))

Se um ponto \( x \) pertence a \( \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \), então existem abertos \( U \subseteq A \) e \( V \subseteq B \) que contêm \( x \).

A interseção \( W = U \cap V \) também é um aberto que contém \( x \) e está contido em \( A \cap B \).

Logo, \( x \in \text{Int}(A \cap B) \), o que prova a primeira inclusão.

2] Segunda inclusão (\(\supseteq\))

Agora, suponha que \( x \in \text{Int}(A \cap B) \). Existe um aberto \( W \) tal que \( x \in W \subseteq A \cap B \).

Como \( W \) está contido em ambos \( A \) e \( B \), o ponto \( x \) pertence tanto a \( \text{Int}(A) \) quanto a \( \text{Int}(B) \).

Como as duas inclusões foram demonstradas, podemos concluir que:

\[ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) \]

Essa propriedade mostra a harmonia entre as operações de interior e interseção: quando dois conjuntos se cruzam, seus interiores se combinam exatamente como suas próprias regiões abertas.