Interseção entre a fronteira de um conjunto e o próprio conjunto
A interseção entre a fronteira \( \partial A \) de um conjunto e o conjunto \( A \) é vazia se e somente se \( A \) é aberto: $$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ é aberto} $$
De forma intuitiva, um conjunto é aberto quando todos os seus pontos estão "totalmente dentro" dele, sem tocar a fronteira. Isso significa que nenhum ponto de \( A \) pertence à sua própria fronteira.
Por isso, sempre que \( A \) é aberto, ele e a sua fronteira aparecem separados.
Exemplo prático
Para visualizar essa ideia, observemos o intervalo aberto \((0, 1)\) na reta real \(\mathbb{R}\), com a topologia usual. Trata-se de um exemplo clássico de conjunto aberto.
$$ A = (0, 1) $$
A fronteira de \( A \) é obtida combinando o fecho de \( A \) com o fecho do seu complemento:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$
Sabemos que o fecho de \( A \) é o intervalo fechado \([0, 1]\):
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
O fecho do complemento é:
$$ \text{Cl}(\mathbb{R}-A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Com isso, a fronteira fica:
$$ \partial A = \{0, 1\} $$
Se agora verificamos a interseção da fronteira com o conjunto, obtemos:
$$ \partial A \cap A = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$
Ou seja, o intervalo \((0, 1)\) não contém os seus pontos de fronteira. Este é exatamente o comportamento esperado de um conjunto aberto.
Exemplo 2
Comparemos isso com o intervalo fechado \( B = [0, 1] \):
$$ B = [0, 1] $$
O seu fecho é ele próprio, e o fecho do complemento é o mesmo que vimos antes. Assim, a fronteira também é:
$$ \partial B = \{0, 1\} $$
Desta vez, no entanto:
$$ \partial B \cap B = \{0, 1\} $$
A interseção não é vazia. Isso mostra que conjuntos fechados, como \([0, 1]\), incluem os seus pontos de fronteira e, portanto, não são abertos.
Demonstração
Agora vamos entender por que essa equivalência funciona.
(⇒) Se \( \partial A \cap A = \emptyset \), então \( A \) é aberto
Se nenhum ponto de \( A \) pertence à fronteira, então cada ponto está no interior do conjunto. Isso garante a existência de um entorno completamente incluído em \( A \), exatamente como pede a definição de conjunto aberto.
(⇐) Se \( A \) é aberto, então \( \partial A \cap A = \emptyset \)
Se \( A \) é aberto, qualquer ponto do conjunto tem um entorno totalmente contido nele. Assim, não pode estar "no limite" entre \( A \) e o seu complemento. Por isso, nenhum ponto de \( A \) pertence à sua fronteira.
Conclusão
Chegamos ao resultado fundamental: um conjunto é aberto se e somente se não contém pontos da sua fronteira.
$$ \partial A \cap A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ é aberto} $$
Essa relação é uma das ideias centrais da topologia e ajuda a compreender como conjuntos se posicionam dentro de um espaço.
