Propriedade característica dos conjuntos fechados
Um conjunto \( A \) é fechado quando coincide exatamente com a sua fechadura no espaço topológico considerado. Em outras palavras, a fechadura não acrescenta nenhum ponto além dos que já pertencem ao conjunto. $$ A = \text{Cl}(A) $$
Exemplo concreto
Para visualizar essa ideia, considere o espaço topológico \( \mathbb{R} \) com a topologia usual e o intervalo \( A = [0, 1] \).
Nesse caso, todo ponto do intervalo é um ponto de acumulação, inclusive os limites 0 e 1. Isso significa que o conjunto já contém todos os pontos que podem ser "atingidos" por sequências de elementos de \( A \).
Como o intervalo inclui todos esses pontos, concluímos que se trata de um conjunto fechado.
Vamos verificar explicitamente se a condição \( A = \text{Cl}(A) \) se confirma.
Na topologia usual, a fechadura de \( [0, 1] \) é o próprio intervalo, já que ele contém todos os seus pontos de acumulação:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Portanto:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Esse exemplo simples mostra de forma direta que um conjunto é fechado exatamente quando coincide com sua fechadura.
Demonstração
Retomemos as definições essenciais da disciplina:
- Fechadura de um conjunto: A fechadura \( \text{Cl}(A) \) é formada pelos pontos de \( A \) e por todos os seus pontos de acumulação. Formalmente, \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid toda\;vizinhança\;de\;x\;intersecta\;A\;em\;algum\;ponto \} \] Trata-se da definição padrão nos manuais de Topologia Geral.
- Conjunto fechado: Um conjunto é fechado quando contém todos os seus pontos de acumulação. Portanto, \( A \) é fechado ⇔ \( A = \text{Cl}(A) \).
Equivalência das duas condições
1] Se \( A \) é fechado, então \( A = \text{Cl}(A) \)
Se \( A \) é fechado, ele já contém todos os seus pontos de acumulação. A fechadura reúne o conjunto e esses pontos adicionais. Como nenhum ponto novo é adicionado, a fechadura coincide exatamente com \( A \):
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{pontos de acumulação de } A \} = A $$
Logo:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
2] Se \( A = \text{Cl}(A) \), então \( A \) é fechado
Agora suponha que o conjunto já seja igual à sua fechadura. Como toda fechadura inclui automaticamente todos os pontos de acumulação, isso significa que esses pontos já pertencem a \( A \). Assim, o conjunto contém todos os seus pontos de acumulação e, portanto, é fechado.
Essa equivalência resume uma das ideias centrais da topologia: um conjunto é fechado precisamente quando a sua fechadura não acrescenta nada além do que ele já possui.
