Propriedade de inclusão da aderência em um conjunto fechado
Em um espaço topológico \( X \), se um conjunto \( C \) é fechado e um subconjunto \( A \) satisfaz \( A \subseteq C \), então a aderência de \( A \), indicada por \( \text{Cl}(A) \), também está contida em \( C \): $$ A \subseteq C , \ C \text{ fechado } \ \Rightarrow \ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$
Em outras palavras, se \( A \) está dentro de \( C \) e \( C \) é fechado, a fronteira de \( A \) não pode ultrapassar os limites de \( C \). Essa é uma das propriedades mais diretas e intuitivas da topologia: a aderência de um conjunto não "escapa" do conjunto fechado que o contém.
Entendendo a ideia
A aderência de um conjunto \( A \) é o menor conjunto fechado que contém \( A \). Ela inclui não apenas os pontos de \( A \), mas também todos os seus pontos de acumulação, isto é, pontos que podem ser "aproximados" por elementos de \( A \).
Por isso, se um conjunto \( C \) já é fechado e contém \( A \), ele também deve conter todos esses pontos-limite. Logo, a aderência de \( A \) está inteiramente dentro de \( C \).
Um exemplo prático
Vamos considerar o espaço topológico \( X = \mathbb{R} \), a reta real com a topologia usual.
Nessa topologia, os conjuntos abertos são exatamente os intervalos abertos.
Seja o conjunto \( C = [0,2] \), que é fechado em \( \mathbb{R} \):
$$ C = [0,2] $$
Agora tomemos o subconjunto aberto \( A = (0,1) \), que está dentro de \( C \):
$$ A = (0,1) $$
Queremos saber qual é a aderência de \( A \).
Por definição, a aderência é o menor conjunto fechado que contém \( A \). No caso de \( (0,1) \), esse conjunto é \( [0,1] \), pois ele inclui todos os pontos de \( A \) e também os pontos de fronteira 0 e 1, que são pontos de acumulação de \( A \).
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Como \( A \subseteq C \), a propriedade garante que:
$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$
E, de fato, \( [0,1] \subseteq [0,2] = C \).
Isso confirma a regra: se um conjunto está dentro de um conjunto fechado, sua aderência não ultrapassa os limites desse conjunto.
Demonstração formal
Sejam \( A \subseteq C \subseteq X \), com \( C \) fechado em \( X \).
Por definição, o complementar de \( C \), isto é, \( X \setminus C \), é aberto.
A aderência de \( A \), denotada por \( \operatorname{Cl}(A) \), é o menor conjunto fechado que contém \( A \) e pode ser expressa como a interseção de todos os conjuntos fechados de \( X \) que contêm \( A \).
Como \( C \) é um desses conjuntos, ele aparece nessa interseção. Isso implica que a aderência \( \operatorname{Cl}(A) \), que está contida nessa interseção, também está incluída em \( C \):
$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$
Em resumo, se \( C \) já é fechado e contém \( A \), a aderência de \( A \) necessariamente permanece dentro de \( C \). Essa conclusão encerra a demonstração.
