União da fronteira e do interior de um conjunto

Em topologia, existe uma relação fundamental entre o interior, a fronteira e o fecho de um conjunto. Em particular, a união da fronteira \( \partial A \) com o interior \( \text{Int}(A) \) coincide exatamente com o fecho topológico do conjunto:

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Exemplo

Considere o conjunto \( A = (0, 1) \) no espaço topológico \(\mathbb{R}\), dotado da topologia usual.

O interior de \(A\) corresponde ao próprio intervalo aberto:

$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$

O fecho de \(A\) é o intervalo fechado que inclui também os seus pontos-limite:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

A fronteira de \(A\) é formada exclusivamente pelas extremidades do intervalo:

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Ao unir o interior com a fronteira, obtém-se novamente o fecho:

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$

ou, de forma mais sintética,

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Este exemplo ilustra um facto geral: todo ponto do fecho de um conjunto é ou um ponto interior ou um ponto de fronteira. Não existem outros tipos de pontos no fecho, e essas duas partes não se sobrepõem.

Demonstração

Para justificar rigorosamente essa propriedade, recordemos algumas definições básicas da topologia:

1. Interior de \(A\) (\( \text{Int}(A) \))
   Conjunto dos pontos de \(A\) para os quais existe uma vizinhança inteiramente contida em \(A\).
2. Fecho de \(A\) (\( \text{Cl}(A) \))
   Menor conjunto fechado que contém \(A\), formado pelos pontos de \(A\) e por todos os seus pontos de aderência. Em particular, vale:
   \[ \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \]
3. Fronteira de \(A\) (\( \partial A \))
   Conjunto dos pontos que pertencem simultaneamente ao fecho de \(A\) e ao fecho do seu complementar:
   \[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]

Seja \(A \subseteq X\) um subconjunto qualquer de um espaço topológico.

Por definição, o fecho de \(A\) pode ser decomposto de forma natural como a união do seu interior com a sua fronteira:

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Além disso, o interior de um conjunto e a sua fronteira são sempre disjuntos:

$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$

Consequentemente, essa união é disjunta e cobre exatamente todos os pontos do fecho do conjunto:

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Q.E.D.