União de abertos na topologia quociente

Considere uma família de abertos $ U_i $ na topologia quociente $ Q $. Um ponto fundamental é que a pré-imagem da união desses conjuntos coincide exatamente com a união das respetivas pré-imagens, cada uma aberta na topologia inicial $ X $: $$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Como consequência direta, qualquer união de abertos em $ Q $, seja finita ou infinita, é também um aberto da topologia quociente.

Um exemplo ilustrativo

Tomemos o conjunto dos números reais $ \mathbb{R} $, equipado com a sua topologia usual, e construamos uma topologia quociente através da aplicação $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, que associa a cada $ x \in \mathbb{R} $ a sua classe de equivalência módulo 1.

De forma intuitiva, essa aplicação identifica números reais que diferem de um inteiro, fazendo com que cada ponto seja representado pela sua parte fracionária.

Assim, pela aplicação $ p $, os números 0{,}3, 1{,}3, 2{,}3, e assim por diante, correspondem todos ao mesmo ponto 0{,}3 no espaço quociente.

representação gráfica de R módulo Z

O espaço quociente $ Q $ pode ser visualizado como um círculo, no qual cada ponto representa um número real do intervalo [0,1), isto é, de 0 incluído até 1 excluído.

Consideremos agora alguns exemplos de abertos em $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, como:

$ U_1 = (0{,}1, 0{,}4) $
$ U_2 = (0{,}6, 0{,}8) $

Esses conjuntos podem ser interpretados como arcos abertos do círculo quociente e são abertos na topologia de $ Q $.

Vejamos passo a passo o que acontece quando consideramos a sua união.

A pré-imagem de $ U_1 $ pela aplicação $ p $ é formada por todos os intervalos de $ \mathbb{R} $ que diferem de $ (0{,}1, 0{,}4) $ por um inteiro:
\[ p^{-1}(U_1) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (2{,}1, 2{,}4) \cup \dots \]
De maneira análoga, a pré-imagem de $ U_2 $ é:
\[ p^{-1}(U_2) = (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup (2{,}6, 2{,}8) \cup \dots \]

No espaço quociente, a união dos dois abertos é simplesmente:

$$ U_1 \cup U_2 = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) $$

Ao calcular a pré-imagem dessa união, obtemos:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

Ou, de forma explícita:

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup \dots $$

Essa coleção é formada apenas por intervalos abertos de $ \mathbb{R} $ e, portanto, constitui um conjunto aberto na topologia usual.

Isso confirma que $ U_1 \cup U_2 $ é, de fato, um aberto na topologia quociente sobre $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $.

O mesmo raciocínio aplica-se sem alterações a qualquer união, finita ou infinita, de abertos em $ Q $, ilustrando uma das propriedades fundamentais da topologia quociente.