Assoziativität des topologischen Produkts

Seien $X$, $Y$ und $Z$ topologische Räume. Die folgenden Produkte $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ sind paarweise homöomorph: $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Das bedeutet, dass der entstehende topologische Raum unabhängig davon derselbe bleibt, wie die Faktoren in einem kartesischen Produkt zusammengefasst oder geklammert werden.

Anders gesagt: Das kartesische Produkt topologischer Räume ist eine assoziative Operation.

Bemerkung: Diese Eigenschaft ist besonders hilfreich, da sie es ermöglicht, Produkte aus mehreren topologischen Räumen flexibel zu verwenden, ohne sich um die konkrete Klammerung oder Reihenfolge der Faktoren kümmern zu müssen.

Ein konkretes Beispiel

Um diese Eigenschaft anschaulich zu machen, betrachten wir vertraute Räume wie $\mathbb{R}$ mit der Standardtopologie sowie $\mathbb{R}^2$, die euklidische Ebene mit der Produkttopologie.

Wir nehmen drei Kopien des Raums $\mathbb{R}$:

$X = \mathbb{R}$
$Y = \mathbb{R}$
$Z = \mathbb{R}$

Betrachten wir nun verschiedene Arten, ihr Produkt zu bilden:

Produkt $(X \times Y) \times Z$
Zunächst bildet man das Produkt $X \times Y$, das mit der Produkttopologie die Ebene $\mathbb{R}^2$ ergibt. Nimmt man anschließend das Produkt mit $Z$, erhält man den Raum $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$. Seine Elemente sind Tripel der Form $((x, y), z)$ mit $x, y, z \in \mathbb{R}$. Dieser Raum ist homöomorph zum euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$.
Produkt $X \times (Y \times Z)$
Hier beginnt man mit dem Produkt $Y \times Z = \mathbb{R}^2$ und bildet anschließend das Pro

09 / 01 / 2026
dukt mit $X$. Man erhält den Raum $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$, dessen Elemente Tripel der Form $(x, (y, z))$ sind. Auch dieser Raum ist homöomorph zum euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$.
Produkt $X \times Y \times Z$
Schließlich kann man das Produkt der drei Räume direkt betrachten. Es besteht aus Tripeln $(x, y, z)$ mit $x, y, z \in \mathbb{R}$ und trägt die Produkttopologie. Dieser Raum ist auf natürliche Weise homöomorph zum euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$.

In allen drei Fällen erhält man also einen topologischen Raum, der homöomorph zum euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$ ist.

Die konkrete Gruppierung der Faktoren oder die Reihenfolge der Produktbildung hat damit keinen Einfluss auf die resultierende Topologie. Genau dies ist der Kern der Assoziativität des topologischen Produkts.

Dieses Beispiel zeigt klar, dass das kartesische Produkt topologischer Räume unabhängig von der gewählten Assoziation stets zu demselben topologischen Raum führt, bis auf Homöomorphie.