Charakteristische Eigenschaft abgeschlossener Mengen
Eine Menge \( A \) ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Abschluss im jeweiligen topologischen Raum mit ihr selbst übereinstimmt. Kurz gesagt: $$ A = \text{Cl}(A) $$
Ein anschauliches Beispiel
Schauen wir uns den topologischen Raum \( \mathbb{R} \) mit der Standardtopologie an und betrachten das Intervall \( A = [0, 1] \).
Eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. Beim Intervall \( [0, 1] \) ist das besonders leicht zu sehen, denn jeder Punkt des Intervalls ist ein Häufungspunkt, auch die beiden Randpunkte.
Weil das Intervall also bereits sämtliche dieser Punkte enthält, ist es abgeschlossen.
Prüfen wir nun, ob tatsächlich \( A = \text{Cl}(A) \) gilt.
In der Standardtopologie stimmt der Abschluss von \( [0, 1] \) mit dem Intervall selbst überein. Das liegt daran, dass keine weiteren Häufungspunkte hinzukommen:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Damit ergibt sich ohne Weiteres:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Das Beispiel zeigt klar: Das Intervall \( [0, 1] \) ist abgeschlossen, weil es genau mit seinem Abschluss übereinstimmt.
Gleichzeitig macht es die grundlegende Idee sichtbar, die man sich in der Topologie gut merken kann: Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie nichts mehr zu ihrem Abschluss hinzubekommt.
Beweis
Für ein besseres Verständnis greifen wir auf die grundlegenden Begriffe der Topologie zurück:
- Abschluss einer Menge: Der Abschluss einer Menge \( A \), bezeichnet als \( \text{Cl}(A) \), umfasst alle Punkte von \( A \) plus sämtliche ihrer Häufungspunkte. Formal: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid jede Umgebung von x mindestens einen Punkt aus A enthält \} \]
- Abgeschlossene Menge: Eine Menge \( A \) heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. Das ist genau dann der Fall, wenn \( A = \text{Cl}(A) \).
Nun zeigen wir, weshalb beide Aussagen tatsächlich gleichwertig sind:
1] Wenn \( A \) abgeschlossen ist, dann gilt auch \( A = \text{Cl}(A) \):
Ist \( A \) abgeschlossen, enthält es per Definition alle seine Häufungspunkte.
Da der Abschluss aus allen Punkten von \( A \) plus den Häufungspunkten besteht, folgt unmittelbar:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{\text{Häufungspunkte von } A\} = A $$
Damit steht fest:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
2] Wenn \( A = \text{Cl}(A) \), dann ist \( A \) abgeschlossen:
Nehmen wir nun an, \( A \) stimme mit seinem Abschluss überein. Da der Abschluss definitionsgemäß alle Häufungspunkte enthält, müssen diese bereits in \( A \) liegen.
Damit umfasst \( A \) alle seine Häufungspunkte und ist folglich abgeschlossen.
