Das Innere der Schnittmenge zweier Mengen

Das Innere der Schnittmenge zweier Mengen $ A $ und $ B $ ist identisch mit dem Schnitt ihrer jeweiligen Inneren: $$ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) $$

Mit anderen Worten: Wenn man die Inneren zweier Mengen schneidet, erhält man genau das Innere ihrer gemeinsamen Schnittmenge. Eine einfache, aber sehr nützliche Eigenschaft der Topologie.

Anschaulich gesprochen gehören die Punkte, die sich sowohl im Inneren von $ A $ als auch im Inneren von $ B $ befinden, exakt zu dem Bereich, der das Innere von $ A \cap B $ bildet.

Um das besser zu verstehen, lohnt es sich, kurz zwei zentrale Begriffe in Erinnerung zu rufen:

Inneres einer Menge ($\text{Int}(A)$): die Gesamtheit aller Punkte von $ A $, die eine offene Umgebung besitzen, die vollständig in $ A $ liegt. Diese Punkte befinden sich also wirklich innerhalb von $ A $, nicht am Rand.
Schnitt ($\cap$): die Menge aller Elemente, die gleichzeitig zu $ A $ und zu $ B $ gehören.

Schneidet man die beiden Inneren miteinander, erhält man genau das Innere der Schnittmenge. Diese Beziehung ist elegant und intuitiv zugleich.

Ein anschauliches Beispiel
Beweis der Eigenschaft

Ein anschauliches Beispiel

Stellen wir uns zwei Kreisscheiben $ A $ und $ B $ vor, die sich teilweise überlappen. Das Innere jeder Scheibe ist die gesamte Fläche ohne den Rand.

Schnittmenge zweier Kreisscheiben

Die Überlappungszone dieser beiden Flächen stellt die Schnittmenge dar. Betrachtet man nur die inneren Punkte, also ohne Ränder, erhält man das Innere von $ A \cap B $.

Beweis der Eigenschaft

Um die Gleichheit zu zeigen, prüfen wir beide Inklusionen getrennt.

1] Erste Inklusion ($\subseteq$)

Sei $ x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $. Das bedeutet, es existieren offene Mengen $ U \subseteq A $ und $ V \subseteq B $, die beide den Punkt $ x $ enthalten.

Der Schnitt $ W = U \cap V $ ist ebenfalls offen, enthält $ x $ und liegt vollständig in $ A \cap B $.

Damit gehört $ x $ auch zum Inneren von $ A \cap B $. Somit gilt die erste Inklusion.

Sei $ x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $. Dann gibt es offene Mengen $ U $ und $ V $ mit $ x \in U \subseteq A $ und $ x \in V \subseteq B $.

Ihr Schnitt $ W = U \cap V $ ist offen, enthält $ x $ und erfüllt $ W \subseteq A \cap B $.

Daraus folgt $ x \in \text{Int}(A \cap B) $.

Also: $ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cap B) $.

2] Zweite Inklusion ($\supseteq$)

Nun sei $ x \in \text{Int}(A \cap B) $. Dann gibt es eine offene Menge $ W $, sodass $ x \in W \subseteq A \cap B $.

Damit liegt $ W $ sowohl in $ A $ als auch in $ B $, also $ x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $.

Sei $ x \in \text{Int}(A \cap B) $. Dann existiert eine offene Menge $ W $ mit $ x \in W \subseteq A \cap B $.

Da $ W $ in $ A $ und in $ B $ enthalten ist, gilt $ x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $.

Daher: $ \text{Int}(A \cap B) \subseteq \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) $.

Da beide Inklusionen bewiesen sind, folgt die Gleichheit:

\[ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) \]

Diese Eigenschaft zeigt, wie eng die Konzepte von Offenheit und Schnitt in der Topologie miteinander verknüpft sind.