Der Abschluss als Vereinigung von Innerem und Rand einer Menge

In der Topologie stehen das Innere, der Rand und der Abschluss einer Menge in engem Zusammenhang. Eine zentrale Beobachtung lautet: Fasst man den Rand $ \partial A $ und das Innere $ \text{Int}(A) $ einer Menge zusammen, so erhält man genau ihren Abschluss: $$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Beispiel
Beweis

Beispiel

Betrachten wir die Menge $ A = (0, 1) $ im topologischen Raum $\mathbb{R}$, versehen mit der üblichen Topologie.

Das Innere von $A$ ist das offene Intervall $ (0, 1) $. Jeder Punkt dieses Intervalls besitzt nämlich eine offene Umgebung, die vollständig in $A$ liegt:

$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$

Der Abschluss von $A$ ist das abgeschlossene Intervall $ [0, 1] $. Er enthält nicht nur alle Punkte von $A$, sondern zusätzlich auch die Randpunkte:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Der Rand von $A$ besteht genau aus den beiden Endpunkten des Intervalls:

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Damit lässt sich der Abschluss von $A$ unmittelbar als Vereinigung von Innerem und Rand schreiben:

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Dieses einfache Beispiel macht deutlich: Jeder Punkt des Abschlusses ist entweder ein innerer Punkt oder ein Randpunkt. Beide Teilmengen überschneiden sich dabei nicht.

Beweis

Für einen klaren und vollständigen Beweis erinnern wir zunächst an einige grundlegende Begriffe der Topologie:

Inneres von $A$ ($ \text{Int}(A) $)
Die Menge aller Punkte von $A$, die eine offene Umgebung besitzen, welche vollständig in $A$ enthalten ist.
Abschluss von $A$ ($ \text{Cl}(A) $)
Die kleinste abgeschlossene Menge, die $A$ enthält. Sie setzt sich aus den Punkten von $A$ sowie allen Abschlusspunkten von $A$, also seinen Häufungspunkten, zusammen. Es gilt:
\[ \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \]
Rand von $A$ ($ \partial A $)
Die Menge aller Punkte, die zugleich zum Abschluss von $A$ und zum Abschluss des Komplements gehören:
\[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]

Sei nun $A \subseteq X$ eine beliebige Teilmenge eines topologischen Raums.

Aus den Definitionen folgt direkt, dass sich der Abschluss von $A$ auf natürliche Weise in zwei disjunkte Teilmengen zerlegen lässt:

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Dabei gilt:

$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$

Der Abschluss einer Menge besteht somit genau aus ihren inneren Punkten und ihren Randpunkten. Zusammen liefern sie eine vollständige Beschreibung aller Punkte, die zu $A$ oder zu seiner Grenze gehören.

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Q.E.D.