Der Abschluss einer Menge bleibt in einer abgeschlossenen Menge enthalten

In einem topologischen Raum $ X $ gilt eine einfache, aber wichtige Regel: Wenn $ C $ eine abgeschlossene Menge ist und eine Teilmenge $ A $ ganz in $ C $ liegt, dann liegt auch der topologische Abschluss von $ A $, also $ \operatorname{Cl}(A) $, vollständig in $ C $ : $$ A \subseteq C ,\ C \text{ abgeschlossen } \ \Rightarrow \ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Der Grund dafür ist leicht nachvollziehbar. Der Abschluss von $ A $ ist definitionsgemäß die kleinste abgeschlossene Menge, die $ A $ enthält. Wenn $ C $ selbst schon abgeschlossen ist und $ A $ einschließt, kann der Abschluss von $ A $ gar nicht außerhalb von $ C $ liegen.

Mit anderen Worten: Der Abschluss „passt" sich den Grenzen der abgeschlossenen Menge $ C $ an und bleibt vollständig darin enthalten.

Ein anschauliches Beispiel
Beweis

Ein anschauliches Beispiel

Betrachten wir den topologischen Raum $ X = \mathbb{R} $, also die Menge aller reellen Zahlen mit der Standardtopologie.

In dieser Topologie sind die offenen Mengen einfach die offenen Intervalle auf der Zahlengeraden.

Nehmen wir die abgeschlossene Menge $ C = [0,2] $ :

$$ C = [0,2] $$

Und darin eine kleinere Teilmenge, das offene Intervall $ A = (0,1) $ :

$$ A = (0,1) $$

Der Abschluss $ \operatorname{Cl}(A) $ ist die kleinste abgeschlossene Menge, die alle Punkte von $ A $ enthält. In diesem Fall ist das einfach das Intervall $ [0,1] $, da es nicht nur die Punkte von $ A $, sondern auch die Randpunkte 0 und 1 umfasst. Diese Randpunkte sind sogenannte Häufungspunkte von $ A $.

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$

Da $ A = (0,1) \subseteq C = [0,2] $, gilt automatisch auch:

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Und tatsächlich sehen wir :

$$ [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

Das Beispiel zeigt deutlich: Wenn eine Menge $ A $ in einer abgeschlossenen Menge $ C $ enthalten ist, bleibt auch ihr Abschluss in $ C $. Der Abschluss kann die Grenzen von $ C $ nicht überschreiten.

Beweis

Seien $ A \subseteq C \subseteq X $, wobei $ C $ in $ X $ abgeschlossen ist.

Das Komplement $ X \setminus C $ ist dann per Definition offen.

Der Abschluss $ \operatorname{Cl}(A) $ lässt sich als Durchschnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von $ X $ darstellen, die $ A $ enthalten.

Da $ C $ eine dieser abgeschlossenen Mengen ist, die $ A $ umfassen, gehört sie zu den Mengen, die in diesem Durchschnitt berücksichtigt werden.

Folglich ist $ \operatorname{Cl}(A) $, als Teil dieses Durchschnitts, selbst in $ C $ enthalten :

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Zusammengefasst: Wenn $ C $ abgeschlossen ist und $ A $ enthält, dann kann der Abschluss von $ A $ gar nicht außerhalb von $ C $ liegen. Genau das drückt die Inklusionseigenschaft des Abschlusses aus - eine der grundlegenden Strukturen der Topologie.