Der Rand einer Menge ist stets eine abgeschlossene Menge

Der Rand einer Menge ist immer abgeschlossen. Das liegt daran, dass er als Schnitt der abgeschlossenen Hülle von $A$ und der abgeschlossenen Hülle seines Komplements definiert wird: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$. Da der Schnitt abgeschlossener Mengen selbst abgeschlossen bleibt, folgt diese Eigenschaft unmittelbar aus der Definition.

In einem topologischen Raum $X$ versteht man unter dem Rand einer Menge $A$, notiert als $\partial A$, genau diesen Schnitt zweier abgeschlossener Hüllen. Sobald man die Definition kennt, wird schnell klar, warum der Rand immer ein abgeschlossenes Objekt ist.

Beispiel
Beweis

Beispiel

Um die Idee greifbarer zu machen, betrachten wir den vertrauten Raum $\mathbb{R}$ mit seiner üblichen Topologie, in der offene Mengen offene Intervalle sind.

Wählen wir das offene Intervall $A = (0, 1)$. Die abgeschlossene Hülle $Cl(A)$ ist das Intervall $[0, 1]$. Es enthält alle Punkte von $A$ sowie die beiden Grenzpunkte 0 und 1.

Das Komplement von $A$ lautet:

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Diese Menge ist bereits abgeschlossen, daher bleibt ihre abgeschlossene Hülle unverändert:

$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Der Rand von $A$ ist damit der Schnitt beider abgeschlossenen Mengen:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) = \{0, 1\} $$

In diesem Beispiel besteht der Rand also aus genau zwei Punkten, die ein abgeschlossenes Teilset von $\mathbb{R}$ bilden. Das zeigt, wie eng Definition und topologische Struktur zusammenwirken.

Beweis

Die Aussage lässt sich elegant aus den Grundprinzipien der allgemeinen Topologie ableiten.

Die abgeschlossene Hülle einer Menge $A$, geschrieben $\overline{A}$ oder $Cl(A)$, ist definitionsgemäß das kleinste abgeschlossene Superset von $A$. Damit ist sie immer abgeschlossen.

Das Komplement einer Menge $A$ in $X$, notiert als $X - A$, ist offen, wenn $A$ abgeschlossen ist, und umgekehrt. Für den Rand spielt diese Beziehung eine wichtige Rolle, denn er entsteht aus der Kombination beider Strukturen.

Die Definition:

$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$

Nutzen wir nun eine fundamentale Eigenschaft aller topologischen Räume: Der Schnitt beliebiger, insbesondere auch endlich vieler, abgeschlossener Mengen bleibt immer abgeschlossen.

Damit folgt unmittelbar:

$Cl(A)$ ist abgeschlossen.
$Cl(X - A)$ ist ebenfalls abgeschlossen.
Ihr Schnitt, also $\partial A$, ist erneut eine abgeschlossene Menge.

Auf diese Weise ergibt sich aus der Definition selbst ein sauberes, strukturelles Resultat: Der Rand jeder Menge $A$ ist stets abgeschlossen.

Damit ist der Beweis vollständig.

Und so weiter.