Die monotone Eigenschaft des Abschlussoperators
Die monotone Eigenschaft des Abschlussoperators besagt: Wenn \( A \subseteq B \) gilt, also wenn jede Menge \( A \) vollständig in einer anderen Menge \( B \) enthalten ist, dann liegt auch der Abschluss von \( A \) vollständig im Abschluss von \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Diese Aussage ist so grundlegend, dass sie viele zuerst für selbstverständlich halten. Dennoch lohnt es sich, sie bewusst zu betrachten, denn sie bildet eine wichtige Basis für das Verständnis topologischer Strukturen.
Ein einfaches Bild hilft: Stellen Sie sich eine kleine Schachtel in einer größeren vor. Sobald man die größere Schachtel schließt, ist die kleinere automatisch eingeschlossen. Genau das passiert mit den Abschlüssen zweier Mengen.
Ein anschauliches Beispiel
Arbeiten wir im bekannten topologischen Raum \( \mathbb{R} \) mit der Standardtopologie.
Dort sind die offenen Mengen genau die offenen Intervalle.
Betrachten wir nun zwei Teilmengen:
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
Es ist sofort erkennbar, dass \( A \subseteq B \) gilt. Jeder Punkt von \( A \) liegt auch in \( B \):
\[ A \subseteq B \]
Was ist der Abschluss von \( A \)?
Die Menge \( A \) ist ein offenes Intervall. Um ihren Abschluss zu bestimmen, fügen wir alle Grenzpunkte hinzu. Diese sind genau \( 0 \) und \( 1 \), da jede Umgebung dieser Punkte das Intervall berührt.
Damit ergibt sich:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
Und der Abschluss von \( B \)?
Die Menge \( B \) ist bereits ein abgeschlossenes Intervall. Sie enthält alle ihre Grenzpunkte, daher bleibt sie unter dem Abschlussoperator unverändert:
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
Was lernen wir daraus?
Da \( [0, 1] \subseteq [0, 2] \) eindeutig gilt, bestätigt dieses Beispiel die monotone Eigenschaft in ihrer konkreten Form:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Das Beispiel zeigt, warum die Eigenschaft intuitiv einleuchtet und gleichzeitig formal korrekt ist.
Der formale Beweis
Gehen wir nun einen Schritt weiter und formulieren den mathematischen Beweis.
Angenommen, \( A \subseteq B \). Dann gilt:
\[ A \subseteq B \]
Ein Punkt \( x \) liegt genau dann im Abschluss von \( A \), wenn jede Umgebung von \( x \) mindestens einen Punkt aus \( A \) enthält. Das ist die Standarddefinition über Umgebungen.
Da jeder Punkt aus \( A \) automatisch auch zu \( B \) gehört, muss jede Umgebung, die einen Punkt aus \( A \) enthält, auch einen Punkt aus \( B \) enthalten. Dadurch folgt unmittelbar, dass jeder Punkt aus \( \text{Cl}(A) \) auch zu \( \text{Cl}(B) \) gehört.
Wir erhalten also:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Es gibt außerdem eine zweite Sichtweise: Der Abschluss einer Menge ist der Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die sie enthalten.
Wenn \( A \subseteq B \) gilt, dann enthält jede abgeschlossene Menge, die \( B \) umfasst, auch \( A \). Daher ist der Abschluss von \( B \) automatisch größer oder gleich dem Abschluss von \( A \).
Auch so gelangen wir wieder zu:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Die monotone Eigenschaft des Abschlussoperators ergibt sich daher direkt aus seiner Definition und der Inklusion \( A \subseteq B \).
Damit ist sie sowohl intuitiv anschaulich als auch vollständig formal begründet.
