Inklusion der Inneren in der Topologie

Wenn eine Menge $ A $ in einer Menge $ B $ enthalten ist, dann gilt auch für ihre Inneren: $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Dieses Ergebnis zeigt eine grundlegende Eigenschaft des Innenoperators: Er bewahrt die Inklusionsordnung zwischen Mengen. Jede offene Menge, die ganz in $ A $ liegt, ist automatisch auch Teil von $ B $. Deshalb muss auch das Innere von $ A $ im Inneren von $ B $ enthalten sein.

Ein anschauliches Beispiel
Beweis der Aussage

Ein anschauliches Beispiel

Betrachten wir zwei Mengen $ A $ und $ B $ auf der Zahlengeraden $ \mathbb{R} $ mit der Standardtopologie:

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Offensichtlich gilt $ A \subseteq B $:

$$ A \subseteq B $$

In der Standardtopologie von $ \mathbb{R} $ besteht das Innere einer Menge aus der Vereinigung aller offenen Intervalle, die vollständig in ihr enthalten sind.

Inneres von A
Für $ A = [1, 3] $ liegt das offene Intervall $ (1, 3) $ ganz in $ A $. Daher gilt:
\[ \text{Int}(A) = (1, 3) \]
Inneres von B
Analog enthält $ B = [0, 4] $ das offene Intervall $ (0, 4) $. Damit:
\[ \text{Int}(B) = (0, 4) \]

Man erkennt leicht, dass $ \text{Int}(A) = (1, 3) $ tatsächlich eine Teilmenge von $ \text{Int}(B) = (0, 4) $ ist:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Dieses einfache Beispiel macht deutlich, wie sich die Inklusion von Mengen in der reellen Linie auch auf ihre Inneren überträgt. Der Innenoperator „respektiert" also die Inklusionsbeziehung.

Beweis der Aussage

Seien $ A $ und $ B $ Teilmengen eines topologischen Raums $ X $ mit $ A \subseteq B $.

Nach Definition ist das Innere einer Menge $ A $, also $ \text{Int}(A) $, die Vereinigung aller offenen Mengen, die vollständig in $ A $ enthalten sind. Es ist somit die größte offene Teilmenge von $ A $.

Da $ A \subseteq B $, ist jede offene Menge, die in $ A $ enthalten ist, automatisch auch in $ B $ enthalten. Folglich ist $ \text{Int}(A) $ eine offene Teilmenge von $ B $.

Das Innere von $ B $, also $ \text{Int}(B) $, ist die größte offene Teilmenge von $ B $. Damit folgt unmittelbar:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Diese Überlegung zeigt, dass der Innenoperator monoton ist: Wenn eine Menge in einer anderen enthalten ist, bleibt dieses Verhältnis auch nach der Bildung des Inneren erhalten.

Der Beweis ist damit abgeschlossen.