Komplementarität von Innerem und Abschluss einer Menge
In der Topologie beschreibt die Komplementarität von Innerem und Abschluss einer Menge einen grundlegenden Zusammenhang: Das Innere des Komplements einer Menge \( A \) ist identisch mit dem Komplement ihres Abschlusses. Mathematisch formuliert: $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Ein einfaches Beispiel
Um diese Beziehung besser zu verstehen, betrachten wir den topologischen Raum der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) mit der Standardtopologie, in der offene Mengen offene Intervalle sind.
Wir wählen die Menge \( A = [0,1] \), also das abgeschlossene Intervall zwischen 0 und 1.
$$ A = [0,1] $$
Das Komplement von \( A \) in \(\mathbb{R}\) lautet
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Das Innere dieses Komplements, also die Menge aller Punkte mit einer vollständig enthaltenen Umgebung, ist ebenfalls
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Der Abschluss von \( A \), geschrieben \( \text{Cl}(A) \), ist die kleinste abgeschlossene Menge, die \( A \) enthält, also \( A \) selbst zusammen mit all seinen Häufungspunkten. Da \( A \) bereits abgeschlossen ist, gilt
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Das Komplement dieses Abschlusses ist wiederum
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Beide Ergebnisse stimmen überein, also
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Dieses Beispiel zeigt anschaulich, dass das Innere und der Abschluss einer Menge in komplementärer Beziehung zueinander stehen.
Beweis der Beziehung
Sei \( A \) eine Teilmenge eines topologischen Raums \( X \). Wir wollen zeigen, dass
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Dazu erinnern wir uns an zwei zentrale Begriffe:
- Das Innere einer Menge \( B \), \( \text{Int}(B) \), besteht aus allen Punkten, die eine Umgebung besitzen, die vollständig in \( B \) enthalten ist.
- Der Abschluss einer Menge \( A \), \( \text{Cl}(A) \), ist die kleinste abgeschlossene Menge, die \( A \) enthält, also \( A \) zusammen mit ihren Häufungspunkten.
Der Beweis erfolgt in zwei Schritten, indem wir beide Inklusionen zeigen.
1. Nachweis: \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Nehmen wir \( x \in \text{Int}(X - A) \). Dann gibt es eine Umgebung \( U \) von \( x \), die vollständig in \( X - A \) liegt. Das bedeutet \( U \cap A = \emptyset \): Kein Punkt von \( A \) liegt in dieser Umgebung.
Wäre \( x \) ein Häufungspunkt von \( A \), müsste jede Umgebung von \( x \) mindestens einen Punkt aus \( A \) enthalten - was im Widerspruch zu \( U \cap A = \emptyset \) stünde. Also gehört \( x \) nicht zum Abschluss von \( A \), und damit \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Damit gilt
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
2. Nachweis: \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Sei nun \( x \in X - \text{Cl}(A) \). Dann gehört \( x \) weder zu \( A \) noch ist er ein Häufungspunkt von \( A \). Daher existiert eine Umgebung \( U \) von \( x \), in der kein Punkt von \( A \) liegt, also \( U \cap A = \emptyset \). Folglich gilt \( U \subseteq X - A \), womit \( x \in \text{Int}(X - A) \) folgt.
Damit gilt auch
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
3. Schlussfolgerung
Da beide Inklusionen nachgewiesen sind, erhalten wir die Gleichheit
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Damit ist der Beweis vollständig. Diese Beziehung zählt zu den grundlegenden Eigenschaften topologischer Räume und hilft, das Zusammenspiel zwischen offenen und abgeschlossenen Mengen besser zu verstehen.
