Leerer Rand und clopen Mengen
Der Rand \(\partial A\) einer Menge \(A\) ist genau dann leer, wenn \(A\) gleichzeitig offen und abgeschlossen ist, also clopen: $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ ist clopen} $$ Diese einfache, aber aufschlussreiche Beziehung spielt eine zentrale Rolle im Verständnis topologischer Strukturen.
Ein leerer Rand bedeutet, dass es keinen Punkt gibt, der sowohl zum Abschluss von \(A\) als auch zum Abschluss des Komplements gehört. Genau das macht clopen Mengen so besonders.
Beispiele
Beispiel 1
Beginnen wir mit der leeren Menge \(A = \emptyset\) im Raum \(\mathbb{R}\) mit der Standardtopologie. Ihr Abschluss ist ebenfalls leer:
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
Das Komplement ist der gesamte Raum, also:
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
Für den Rand ergibt sich:
$$ \partial A = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
Die leere Menge ist somit ein prototypisches Beispiel für eine clopen Menge. Dass sie offen ist, versteht sich von selbst, und dass sie abgeschlossen ist, folgt daraus, dass sie keine Abschlusspunkte besitzt.
Beispiel 2
Betrachten wir nun den gesamten Raum \(A = \mathbb{R}\). Sein Abschluss ist er selbst, und das Komplement ist leer:
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R}, \quad \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Also:
$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
Auch der gesamte Raum besitzt einen leeren Rand. Jedes topologische Buch erinnert daran, dass sowohl der leere Raum als auch der gesamte Raum automatisch offen und abgeschlossen sind.
Beispiel 3
Spannender wird es mit \(A = [0,1)\). Der Abschluss lautet:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Das Komplement ist:
$$ A^c = (-\infty,0) \cup [1,\infty) $$
Der Abschluss dieses Komplements ist:
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty,0] \cup [1,\infty) $$
Damit ergibt sich:
$$ \partial A = \{0,1\} $$
Hier ist der Rand also nicht leer. Das Intervall \([0,1)\) ist ein klassisches Beispiel für eine Menge, die in der Standardtopologie weder offen noch abgeschlossen ist. Genau deshalb ist sie nicht clopen.
Alle drei Beispiele zeigen das gleiche Grundmotiv: Nur Mengen, deren Rand leer ist, können gleichzeitig offen und abgeschlossen sein.
Beweis
Formal wird der Rand einer Menge \(A\) über ihren Abschluss und den Abschluss des Komplements definiert:
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Auf dieser Grundlage lässt sich die Äquivalenz $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ ist clopen} $$ elegant herleiten.
1] Ein leerer Rand macht \(A\) zu einer clopen Menge
Angenommen, die Abschlussmengen von \(A\) und \(A^c\) überlappen nicht:
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Warum ist \(A\) abgeschlossen?
Aus der Disjunktheit folgt:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq ( \text{Cl}(A^c) )^c \subseteq A $$
Da generell \(A \subseteq \text{Cl}(A)\) gilt, muss gelten:
$$ \text{Cl}(A) = A $$
Warum ist \(A\) offen?
Ein analoges Argument zeigt:
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
Das bedeutet, dass \(A^c\) abgeschlossen ist, also ist \(A\) offen.
Damit steht fest: Ein leerer Rand zwingt \(A\) dazu, gleichzeitig offen und abgeschlossen zu sein.
2] Ist \(A\) clopen, dann verschwindet sein Rand
Gilt umgekehrt, dass \(A\) offen und abgeschlossen ist, dann gelten die Identitäten:
$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$
Damit folgt unmittelbar:
$$ \partial A = A \cap A^c = \emptyset $$
3] Fazit
Die Beziehung ist damit vollständig geklärt: $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ ist clopen} $$ Sie gehört zu den grundlegenden Werkzeugen der Topologie und findet sich in praktisch jeder Einführung in das Fach.
