Der Rand einer Menge schneidet ihr Inneres nicht

Der Rand $ \partial A $ und das Innere $ \operatorname{Int}(A) $ einer Menge sind disjunkt. Das bedeutet, dass sie keine gemeinsamen Punkte besitzen: $$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$

Diese Eigenschaft gehört zu den grundlegenden Aussagen der Topologie und hilft, die Rolle von Rand und Innerem einer Menge klar voneinander abzugrenzen.

Konkretes Beispiel
Beweis

Konkretes Beispiel

Zur Veranschaulichung betrachten wir den topologischen Raum $\mathbb{R}$ mit der üblichen Topologie, in der offene Mengen durch offene Intervalle beschrieben werden.

Sei $A = (0, 1)$, also das offene Intervall zwischen 0 und 1.

Das Innere von $A$ besteht aus allen Punkten, die eine Umgebung besitzen, die vollständig in $A$ liegt. Für dieses einfache Beispiel gilt daher unmittelbar:

$$ \operatorname{Int}(A) = A = (0, 1) $$

Der Abschluss von $A$, bezeichnet mit $ \operatorname{Cl}(A) $, enthält die Menge selbst sowie alle ihre Häufungspunkte. In diesem Fall kommen zu den inneren Punkten genau die Randpunkte 0 und 1 hinzu:

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0, 1] $$

Das Komplement von $A$ in $\mathbb{R}$ ist:

$$ \mathbb{R} \setminus A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Da diese Menge abgeschlossen ist, stimmt ihr Abschluss mit ihr selbst überein:

$$ \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Der Rand von $A$ ergibt sich als Schnittmenge der beiden Abschlüsse:

$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap \bigl((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\bigr) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Setzt man nun Rand und Inneres zueinander in Beziehung, erhält man:

$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

Es gibt also keinen Punkt, der gleichzeitig im Inneren von $A$ liegt und zugleich ein Randpunkt ist.

Dieses einfache Beispiel macht anschaulich, warum Rand und Inneres einer Menge stets disjunkt sind:

$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$

Beweis

Die allgemeine Aussage lässt sich direkt aus den grundlegenden Definitionen der Topologie ableiten.

Der Rand einer Menge $A$ ist definiert als:

$$ \partial A = \operatorname{Cl}(A) \cap \operatorname{Cl}(X \setminus A) $$

Ein Punkt gehört genau dann zum Rand von $A$, wenn jede seiner Umgebungen sowohl Punkte aus $A$ als auch Punkte aus dem Komplement $X \setminus A$ enthält. Randpunkte liegen somit genau an der Grenze zwischen Innen- und Außenbereich der Menge.

Das Innere $ \operatorname{Int}(A) $ besteht dagegen aus allen Punkten, für die es mindestens eine Umgebung gibt, die vollständig in $A$ enthalten ist. Diese Punkte liegen vollständig innerhalb der Menge.

Sei nun $x \in \partial A$. Dann gilt:

$x \in \operatorname{Cl}(A)$, also schneidet jede Umgebung von $x$ die Menge $A$;
$x \in \operatorname{Cl}(X \setminus A)$, also schneidet jede Umgebung von $x$ auch das Komplement $X \setminus A$.

Damit kann keine Umgebung von $x$ vollständig in $A$ liegen. Folglich ist $x$ kein innerer Punkt:

$$ x \notin \operatorname{Int}(A) $$

Umgekehrt gilt: Ist $y \in \operatorname{Int}(A)$, so existiert eine Umgebung von $y$, die vollständig in $A$ enthalten ist. Diese Umgebung kann das Komplement nicht schneiden, also gilt:

$$ y \notin \operatorname{Cl}(X \setminus A) \;\Rightarrow\; y \notin \partial A $$

Damit folgt insgesamt, dass Rand und Inneres einer Menge keine gemeinsamen Punkte besitzen:

$$ \partial A \cap \operatorname{Int}(A) = \emptyset $$

Q.E.D.