Schnitt offener Mengen in der Quotiententopologie

Eine zentrale Eigenschaft der Quotiententopologie lässt sich wie folgt formulieren: Das Urbild einer endlichen Schnittmenge offener Mengen $ U_i $ ist genau der Schnitt der jeweiligen Urbilder. Diese Urbilder sind in der Ausgangstopologie von $ X $ offen : $$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$ Daraus ergibt sich unmittelbar, dass auch der endliche Schnitt offener Mengen in der Quotiententopologie selbst wieder offen ist.

Konkretes Beispiel

Zur Veranschaulichung betrachten wir den bekannten Quotientenraum $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, der anschaulich als ein Kreis verstanden werden kann.

Der zugrunde liegende Raum ist $ \mathbb{R} $ mit seiner üblichen Topologie. Die Quotientenabbildung $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ ordnet jeder reellen Zahl ihre Äquivalenzklasse modulo $ \mathbb{Z} $ zu.

In dieser Darstellung lässt sich der Quotientenraum mit dem halboffenen Intervall [0,1) identifizieren, wobei die Punkte 0 und 1 topologisch zusammenfallen.

So werden beispielsweise die reellen Zahlen 0{,}3, 1{,}3 und 2{,}3 alle auf denselben Punkt 0{,}3 des Kreises abgebildet.

anschauliche Visualisierung des Quotientenraums R modulo Z als Kreis

Betrachten wir nun zwei offene Mengen im Quotientenraum $ A $ :

$$ U_1 = (0{,}1, 0{,}5) $$

$$ U_2 = (0{,}3, 0{,}7) $$

Beide Intervalle sind offene Mengen in $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, das heißt offen bezüglich der Quotiententopologie.

Ihr Schnitt ist gegeben durch :

$$ U_1 \cap U_2 = (0{,}3, 0{,}5) $$

Dieses Intervall liegt vollständig innerhalb des Kreises und stellt daher ebenfalls eine offene Menge des Quotientenraums $ A $ dar.

Um den Zusammenhang mit dem Ausgangsraum zu verdeutlichen, betrachten wir nun die Urbilder dieser Mengen in $ \mathbb{R} $. Sie bestehen jeweils aus einer unendlichen Vereinigung offener Intervalle, die sich periodisch entlang der reellen Zahlengeraden wiederholen:

$$ p^{-1}(U_1) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}1,\ n + 0{,}5) $$

$$ p^{-1}(U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}7) $$

Der Schnitt dieser Urbilder ergibt genau das Urbild des Schnitts der ursprünglichen Mengen :

$$ p^{-1}(U_1 \cap U_2) = \bigcup_{n \in \mathbb{Z}} (n + 0{,}3,\ n + 0{,}5) $$

Man erhält somit eine unendliche Familie paarweise disjunkter offener Intervalle, die zusammen eine offene Menge in der Standardtopologie von $ \mathbb{R} $ bilden.

Da das Urbild von $ U_1 \cap U_2 $ offen in $ \mathbb{R} $ ist, folgt daraus unmittelbar, dass auch der Schnitt $ U_1 \cap U_2 $ selbst eine offene Menge in der Quotiententopologie von $ \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ ist.

Dieses Beispiel zeigt anschaulich, dass der endliche Schnitt offener Mengen in einem Quotientenraum stets wieder offen ist, eine grundlegende Eigenschaft, die den Axiomen einer Topologie entspricht.

Das Argument lässt sich ohne Weiteres auf beliebige endliche Familien offener Mengen übertragen.