Topologie der unteren Schranke
Die Topologie der unteren Schranke ist eine etwas andere Art, „Offenheit“ auf der Zahlengeraden zu verstehen. Hier werden offene Mengen als Vereinigungen halboffener Intervalle der Form [a, b) definiert, wobei \( a < b \) gilt.
Anders als in der Standardtopologie gehören also die linken Randpunkte dazu - die rechten dagegen nicht. Diese kleine Änderung hat erstaunliche Folgen für das Verhalten der offenen Mengen.
Die Basis dieser Topologie wird durch die folgenden Mengen beschrieben:
$$ B = \{ [a,b) \subset \mathbb{R} \mid a<b \} $$
Jedes dieser Intervalle enthält den linken Endpunkt, schließt den rechten aber aus. Zusammengenommen bilden sie die Grundbausteine dieser besonderen Topologie.
Hinweis: Die Topologie der unteren Schranke ist eine Alternative zur vertrauten Standardtopologie auf den reellen Zahlen (\(\mathbb{R}\)), in der die offenen Intervalle (a, b) beide Endpunkte ausschließen.
Dieses Modell spielt in der Topologie eine wichtige Rolle. Es zeigt auf anschauliche Weise, dass der Begriff der „Offenheit“ nicht festgelegt ist, sondern davon abhängt, wie man die zugrunde liegende Topologie definiert.
In der Topologie der unteren Schranke gelten also genau die Intervalle [a, b) - links abgeschlossen, rechts offen - als offen.
Ein anschauliches Beispiel
Stellen wir uns die reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) vor, versehen mit der Sammlung aller halboffenen Intervalle [a, b) als offenen Mengen.
Beispiele dafür sind [0, 2), [1, 4) oder auch [-4, 2). Alle diese Mengen erfüllen die Bedingung, dass sie links abgeschlossen und rechts offen sind.
Die Gesamtheit dieser Intervalle bildet die Basis der Topologie der unteren Schranke. Jedes offene Set kann also als Kombination solcher Intervalle beschrieben werden.
Interessant ist, dass schon diese kleine Abweichung vom Standardmodell zu einer Topologie führt, die sich in vielen Eigenschaften spürbar unterscheidet - etwa bei der Definition von Stetigkeit oder bei der Struktur von offenen und abgeschlossenen Mengen.
So zeigt dieses Beispiel sehr schön, wie flexibel der Begriff der Offenheit in der Mathematik wirklich ist - und wie stark sich unser intuitives Bild ändern kann, wenn man nur die Regeln leicht anpasst.
Und so weiter.
