Vereinigung offener Mengen in der Quotiententopologie

Sei eine Familie offener Mengen $ U_i $ in der Quotiententopologie $ Q $ gegeben. Ein zentrales Merkmal der Quotiententopologie besteht darin, dass das Urbild der Vereinigung dieser Mengen unter der Quotientenabbildung mit der Vereinigung der jeweiligen Urbilder übereinstimmt, wobei jedes einzelne Urbild in der Ausgangstopologie $ X $ offen ist : $$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$ Daraus folgt unmittelbar, dass auch jede Vereinigung offener Mengen in $ Q $ selbst wieder offen ist.

Ein anschauliches Beispiel

Zur Veranschaulichung betrachten wir die reellen Zahlen $ \mathbb{R} $ mit ihrer gewohnten Topologie. Darauf definieren wir eine Quotiententopologie mithilfe der Abbildung $ p : \mathbb{R} \to \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, die jeder reellen Zahl ihre Äquivalenzklasse modulo 1 zuordnet.

Anschaulich entspricht diese Abbildung der Zuordnung einer Zahl zu ihrem Wert modulo 1, der sich durch ihre Nachkommastelle beschreiben lässt.

So werden beispielsweise die Zahlen 0{,}3, 1{,}3, 2{,}3 und alle weiteren Zahlen, die sich um eine ganze Zahl unterscheiden, durch $ p $ auf denselben Punkt 0{,}3 im Quotientenraum abgebildet.

anschauliche Darstellung des Quotientenraums R modulo Z als Kreis

Der entstehende Quotientenraum $ Q $ ist topologisch äquivalent zu einem Kreis. Seine Punkte lassen sich eindeutig mit den reellen Zahlen des Intervalls [0,1) identifizieren, also von 0 einschließlich bis 1 ausschließlich.

Betrachten wir nun einige offene Mengen in $ Q = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $, zum Beispiel :

$ U_1 = (0{,}1, 0{,}4) $
$ U_2 = (0{,}6, 0{,}8) $

Diese Mengen sind offen im Quotientenraum und lassen sich geometrisch als offene Kreisbögen interpretieren.

Untersuchen wir nun, wie sich ihre Vereinigung in der Quotiententopologie verhält.

Das Urbild von $ U_1 $ unter der Abbildung $ p $ besteht aus allen Intervallen in $ \mathbb{R} $, die durch ganzzahlige Verschiebungen von $ U_1 $ entstehen :
\[ p^{-1}(U_1) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (2{,}1, 2{,}4) \cup \dots \]
Analog erhält man für $ U_2 $ :
\[ p^{-1}(U_2) = (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup (2{,}6, 2{,}8) \cup \dots \]

Die Vereinigung der beiden offenen Mengen im Quotientenraum ist somit

$$ U_1 \cup U_2 = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) $$

Das zugehörige Urbild ergibt sich direkt als Vereinigung der einzelnen Urbilder :

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = p^{-1}(U_1) \cup p^{-1}(U_2) $$

also explizit

$$ p^{-1}(U_1 \cup U_2) = (0{,}1, 0{,}4) \cup (0{,}6, 0{,}8) \cup (1{,}1, 1{,}4) \cup (1{,}6, 1{,}8) \cup \dots $$

Diese Menge ist eine Vereinigung offener Intervalle in $ \mathbb{R} $ und damit offen in der Standardtopologie.

Daraus folgt, dass auch $ U_1 \cup U_2 $ eine offene Menge der Quotiententopologie auf $ A = \mathbb{R}/\mathbb{Z} $ ist.

Dieses Argument verallgemeinert sich ohne Weiteres auf beliebige Vereinigungen offener Mengen in $ Q $, unabhängig davon, ob sie endlich oder unendlich sind.