Wann enthält eine Menge ihren Rand?
Der Rand \( \partial A \) einer Menge \( A \) liegt genau dann vollständig in \( A \), wenn \( A \) abgeschlossen ist. Kurz gesagt: \[ \partial A \subseteq A \Leftrightarrow A \text{ ist abgeschlossen} \]
Intuitive Beispiele
Beispiel 1
Betrachten wir die abgeschlossene Kreisscheibe \( A \) mit Radius 1 im Ursprung des Raums \(\mathbb{R}^2\).
$$ A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 \leq 1 $$
Ihr Rand ist der Einheitskreis.
$$ \partial A = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$
Alle Randpunkte gehören zu \( A \). Deshalb gilt:
$$ \partial A \subseteq A $$
Damit haben wir ein typisches Beispiel für eine abgeschlossene Menge.
Beispiel 2
Jetzt betrachten wir die offene Kreisscheibe \( B \) mit demselben Radius.
$$ B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 < 1 $$
Auch hier ist der Rand der Einheitskreis.
$$ \partial B = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 + y^2 = 1 $$
Die Menge \( B \) enthält ihren Rand jedoch nicht.
$$ \partial B \nsubseteq B $$
Daher ist \( B \) nicht abgeschlossen.
Zusammen zeigen die Beispiele einen wichtigen Grundsatz: Abgeschlossene Mengen schließen ihren Rand ein, offene Mengen nicht.
Warum ist das so?
Der Zusammenhang lässt sich präzise über die Definition des Randes erklären. Eine Menge besitzt Randpunkte genau dort, wo ihr Abschluss und der Abschluss ihres Komplements zusammentreffen:
$$ \partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c} $$
Randpunkte sind also Punkte, die sowohl Grenzpunkte von \( A \) als auch Grenzpunkte seines Komplements sind.
Vom Rand zur Abgeschlossenheit
Wenn eine Menge jeden ihrer Randpunkte enthält, dann enthält sie automatisch alle ihre Grenzpunkte. Genau das ist die Bedingung dafür, dass eine Menge abgeschlossen ist.
Von der Abgeschlossenheit zum Rand
Ist eine Menge abgeschlossen, so stimmt sie mit ihrem Abschluss überein:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Setzen wir diesen Ausdruck in die Formel für den Rand ein, erhalten wir:
$$ \partial A = A \cap \text{Cl}(A^c) $$
Damit liegt jeder Randpunkt bereits in \( A \). Die Menge enthält also ihren gesamten Rand.
Fazit
Eine Menge enthält ihren Rand genau dann, wenn sie abgeschlossen ist. Dieser Zusammenhang ist zentral für das Verständnis vieler topologischer Konzepte und bietet eine klare Verbindung zwischen geometrischer Anschauung und formaler Definition.
