A adesão de um conjunto como união entre o conjunto e os seus pontos de acumulação
Num espaço topológico \( X \), a adesão de um conjunto \( A \), indicada por \(\text{Cl}(A)\), corresponde à união entre \( A \) e o conjunto \( A' \) dos seus pontos de acumulação : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Este resultado é fundamental em topologia, porque mostra como um conjunto se completa dentro de um espaço. A ideia central é simples e poderosa : para obter a adesão de \( A \), basta juntar-lhe todos os pontos que podem ser aproximados arbitrariamente por elementos de \( A \).
Assim, a adesão inclui tanto os pontos que já pertencem ao conjunto como aqueles que se encontram na sua “fronteira”, isto é, pontos que podemos atingir por meio de sequências ou vizinhanças formadas apenas por elementos de \( A \).
Vale lembrar que os pontos de acumulação não precisam pertencer a \( A \). O critério é totalmente topológico e depende apenas da forma como o espaço está organizado.
Daqui decorre um facto essencial : um conjunto \( A \) é fechado exatamente quando contém todos os seus pontos de acumulação, ou seja, $$ A \text{ é fechado } \ \Leftrightarrow \ A = \text{Cl}(A) $$ Como explicado em um conjunto coincide com a sua adesão se, e apenas se, for fechado.
Exemplo concreto
Tomemos o intervalo aberto \( A = (0, 1) \) em \( \mathbb{R} \), com a topologia usual.
$$ A = (0,1) $$
Neste intervalo entram todos os números reais estritamente entre 0 e 1. Os extremos ficam de fora.
Ao analisar os pontos de acumulação de \( A \), observamos :
- Qualquer ponto \( x \in (0,1) \) é um ponto de acumulação, porque cada vizinhança aberta de \( x \) contém outros pontos do conjunto.
- O ponto \( 0 \) também é de acumulação, pois qualquer vizinhança aberta de \( 0 \) intersecta \( A \).
- O mesmo vale para \( 1 \), já que qualquer vizinhança aberta de \( 1 \) contém elementos de \( A \).
Concluímos que :
$$ A' = [0,1] $$
A adesão de \( A \) é então :
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
E como \( A \) não inclui \( 0 \) nem \( 1 \), temos : $$ A \ne \text{Cl}(A) $$ Logo, \( A \) não é um conjunto fechado em \( \mathbb{R} \).
Segundo exemplo
Consideremos agora \( B = [0,1] \), um intervalo fechado na topologia usual dos reais.
$$ B = [0,1] $$
Examinemos os seus pontos de acumulação :
- Se \( x \in (0,1) \), todas as vizinhanças abertas de \( x \) contêm outros elementos de \( B \).
- Se \( x = 0 \) ou \( x = 1 \), qualquer vizinhança aberta desses pontos contém elementos de \( B \) distintos de \( x \).
Portanto :
$$ B' = [0,1] $$
E segue-se imediatamente :
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
Como neste caso \( B = \text{Cl}(B) \), concluímos que o intervalo é fechado.
Demonstração do teorema
A demonstração mostra por que esta descrição da adesão funciona para qualquer subconjunto \( A \subseteq X \).
Queremos provar que : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Recordemos duas ideias essenciais :
- Adesão : é a interseção de todos os conjuntos fechados que contêm \( A \).
- Ponto de acumulação : um ponto \( x \in X \) pertence a \( A' \) quando cada vizinhança aberta de \( x \) contém um ponto de \( A \) diferente de \( x \).
1] Inclusão : \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Como \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) por definição, falta apenas mostrar que \( A' \subseteq \text{Cl}(A) \).
Seja \( x \in A' \). Suponhamos, por absurdo, que \( x \notin \text{Cl}(A) \). Nesse caso existiria uma vizinhança aberta \( U \ni x \) tal que \( U \cap A = \emptyset \). Isto contraria a definição de ponto de acumulação. Logo, \( x \in \text{Cl}(A) \).
Assim, $$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] Inclusão : \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Seja \( x \in \text{Cl}(A) \). Se \( x \in A \), não há nada a demonstrar. Caso contrário, como toda vizinhança aberta de \( x \) contém pelo menos um ponto de \( A \), concluímos que \( x \in A' \).
Portanto, $$ x \in A \cup A' $$
Conclusão
As duas inclusões juntas estabelecem a igualdade : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Esta formulação resume elegantemente como a adesão funciona em qualquer espaço topológico e mostra por que ela desempenha um papel central no estudo das propriedades de continuidade, limites e fechos em topologia.
