Como determinar o interior de um conjunto em R
Em topologia, o interior de um conjunto é formado por todos os pontos que pertencem a ele, mas não às suas fronteiras. Em outras palavras, trata-se da maior parte “aberta” contida no conjunto. Podemos explorar esse conceito de forma prática com um simples script em R.
Vamos começar definindo dois intervalos abertos, \( A \) e \( B \).
A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)
Esses vetores representam, respectivamente, os intervalos abertos \( (1, 3) \) e \( (0, 4) \) no conjunto dos números reais.
O intervalo \( A \) corresponde, portanto, a \( (1,3) \).
> cat("Intervalo A :", A, "\n")
Intervalo A : 1 3
De modo análogo, \( B \) representa o intervalo \( (0,4) \).
> cat("Intervalo B :", B, "\n")
Intervalo B : 0 4
Agora, criamos uma função simples que nos permite calcular uma aproximação do interior desses conjuntos.
Em termos matemáticos, o interior de um conjunto é a união de todos os subconjuntos abertos contidos nele.
internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}
Com essa função, obtemos uma aproximação numérica do interior de \( A \) e \( B \).
Int_A <- internal(A)
Int_B <- internal(B)
Vamos observar os resultados.
O interior do conjunto \( A = (1,3) \) é a união dos abertos nele contidos, o que equivale a: \(\text{Int}(A) = (1,3)\).
> cat("Interior de A :", Int_A, "\n")
Interior de A : 1.00001 2.99999
De forma semelhante, o interior de \( B = (0,4) \) é: \(\text{Int}(B) = (0,4)\).
> cat("Interior de B :", Int_B, "\n")
Interior de B : 1e-05 3.99999
Segundo uma propriedade fundamental do operador interior, se \( A \subseteq B \), então vale que: $$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Podemos verificar essa relação com o seguinte comando em R:
cat("Int(A) está contido em Int(B) :", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")
Int(A) está contido em Int(B) : TRUE
O resultado confirma que o interior de \( A \) está de fato contido no interior de \( B \).
Esse pequeno exercício mostra como a linguagem R pode ser uma excelente ferramenta para visualizar e compreender conceitos topológicos de forma concreta e intuitiva.
