O fecho de um conjunto e os seus pontos de acumulação
O fecho de um conjunto \( A \), num espaço topológico \( X \), denotado por \(\text{Cl}(A)\), corresponde à união do próprio conjunto \( A \) com o conjunto \( A' \) dos seus pontos de acumulação: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Esta relação fornece uma das caracterizações mais importantes do conceito de fecho em topologia. Ela permite compreender, de forma clara, como um conjunto pode ser "completado" a partir dos pontos que se encontram arbitrariamente próximos dele.
Intuitivamente, o fecho de um conjunto \( A \) reúne todos os pontos que não podem ser separados de \( A \) por vizinhanças abertas, mesmo que esses pontos não pertençam propriamente ao conjunto.
É importante recordar que os pontos de acumulação não precisam pertencer ao conjunto considerado.
Este resultado implica que um conjunto \( A \) é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos de acumulação. $$ A \text{ é fechado } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Em outras palavras, um conjunto é fechado se, e somente se, coincide com o seu fecho.
Exemplo ilustrativo
Considere o conjunto \( A = (0, 1) \), definido como um subconjunto de \( \mathbb{R} \) munido da topologia usual.
$$ A = (0,1) $$
Esse conjunto é formado por todos os números reais estritamente compreendidos entre 0 e 1.
Vamos identificar os seus pontos de acumulação:
- Todo ponto \( x \in (0,1) \) é um ponto de acumulação, pois qualquer vizinhança aberta de \( x \) contém outros elementos de \( A \).
- O ponto \( 0 \) também é um ponto de acumulação, já que todo intervalo aberto da forma \( (0, \varepsilon) \), com \( \varepsilon > 0 \), contém elementos de \( A \).
- De forma análoga, o ponto \( 1 \) é um ponto de acumulação de \( A \), pois qualquer intervalo aberto que contenha \( 1 \) inclui também pontos de \( A \).
Assim, o conjunto dos pontos de acumulação de \( A \) é:
$$ A' = [0,1] $$
A união de \( A = (0,1) \) com os seus pontos de acumulação é, portanto:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Como \( \text{Cl}(A) \ne A \), concluímos que \( A \) não é um conjunto fechado na topologia usual:
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Exemplo 2
Consideremos agora o conjunto \( B = [0, 1] \), novamente em \( \mathbb{R} \) com a topologia usual.
$$ B = [0,1] $$
Esse conjunto contém todos os números reais \( x \) tais que \( 0 \leq x \leq 1 \).
Identifiquemos os seus pontos de acumulação:
- Todo ponto \( x \in (0,1) \) é um ponto de acumulação, pois qualquer vizinhança aberta de \( x \) contém outros pontos de \( B \).
- As extremidades \( 0 \) e \( 1 \) também são pontos de acumulação, uma vez que toda vizinhança aberta desses pontos intersecta o intervalo em pontos distintos da própria extremidade considerada.
Assim, o conjunto dos pontos de acumulação de \( B \) é:
$$ B' = [0,1] $$
Calculemos agora o fecho de \( B \):
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] \cup [0,1] = [0,1] $$
Neste caso, o conjunto coincide com o seu fecho, o que mostra que \( B \) é um conjunto fechado:
$$ B = \text{Cl}(B) = [0,1] $$
Este segundo exemplo confirma, de forma clara, que um conjunto é fechado se, e somente se, coincide com o seu fecho.
Demonstração formal
Vamos demonstrar que, para todo subconjunto \( A \subseteq X \), vale a igualdade \( \text{Cl}(A) = A \cup A' \), onde \( A' \) representa o conjunto dos pontos de acumulação de \( A \).
Recordemos inicialmente algumas definições fundamentais:
- Fecho de \( A \): interseção de todos os conjuntos fechados que contêm \( A \).
- Ponto de acumulação: um ponto \( x \in X \) é ponto de acumulação de \( A \) se toda vizinhança de \( x \) contém pelo menos um elemento de \( A \setminus \{x\} \).
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Como \( \text{Cl}(A) \) é um conjunto fechado que contém \( A \), tem-se imediatamente:
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Seja agora \( x \in A' \). Pela definição, toda vizinhança de \( x \) intersecta \( A \setminus \{x\} \). Suponhamos que \( x \notin \text{Cl}(A) \). Nesse caso, existiria uma vizinhança \( U \) de \( x \) tal que \( U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset \), e consequentemente \( U \cap A = \emptyset \), o que contradiz o facto de \( x \in A' \).
Conclui-se, portanto, que:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Combinando as duas inclusões, obtemos:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Seja \( x \in \text{Cl}(A) \). Se \( x \in A \), então pertence naturalmente a \( A \cup A' \).
Suponhamos agora que \( x \notin A \). Como \( x \in \text{Cl}(A) \), toda vizinhança de \( x \) intersecta \( A \), o que implica que \( x \) é um ponto de acumulação de \( A \).
Logo, temos \( x \in A' \), e portanto:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
3] Conclusão
Uma vez que:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \quad \text{e} \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
conclui-se que:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
O que encerra a demonstração.
