Das Innere einer Menge mit R bestimmen
Das Innere einer Menge ist ein zentrales Konzept der Topologie. Es beschreibt den Teil einer Menge, der vollständig von ihr selbst „umgeben“ ist, also keine Randpunkte enthält. Mit einem einfachen R-Skript lässt sich dieses Konzept auf anschauliche Weise nachvollziehen.
Beginnen wir mit zwei offenen Intervallen \( A \) und \( B \):
A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)
Diese Vektoren stehen für die offenen Intervalle \( (1, 3) \) und \( (0, 4) \) in der Menge der reellen Zahlen \( \mathbb{R} \).
Das Intervall \( A \) entspricht also \( (1,3) \):
> cat("Intervall A:", A, "\n")
Intervall A: 1 3
Ebenso entspricht \( B \) dem Intervall \( (0,4) \):
> cat("Intervall B:", B, "\n")
Intervall B: 0 4
Als Nächstes schreiben wir eine kleine Funktion, die das Innere dieser Mengen näherungsweise bestimmt. In der Topologie wird das Innere einer Menge als die Vereinigung aller offenen Teilmengen definiert, die vollständig in ihr enthalten sind.
internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}
Diese Funktion verschiebt die Grenzen des Intervalls minimal nach innen und liefert damit eine numerische Annäherung an das Innere.
Int_A <- internal(A)
Int_B <- internal(B)
Nun sehen wir uns die berechneten Ergebnisse an.
Für \( A = (1,3) \) erhalten wir:
> cat("Inneres von A:", Int_A, "\n")
Inneres von A: 1.00001 2.99999
Für \( B = (0,4) \) ergibt sich entsprechend:
> cat("Inneres von B:", Int_B, "\n")
Inneres von B: 1e-05 3.99999
Nach einer grundlegenden Eigenschaft des Inneren gilt: Wenn \( A \subseteq B \), dann $$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$
Diese Beziehung lässt sich direkt im Code überprüfen:
cat("Int(A) ist in Int(B) enthalten:", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")
Int(A) ist in Int(B) enthalten: TRUE
Das Ergebnis bestätigt, dass das Innere von \( A \) vollständig im Inneren von \( B \) liegt. Dieses kurze Beispiel zeigt, wie sich zentrale Begriffe der Topologie mit Hilfe von R nicht nur theoretisch verstehen, sondern auch praktisch veranschaulichen lassen.
