Der Abschluss einer Menge als Vereinigung mit ihren Häufungspunkten
In einem topologischen Raum \( X \) erhält man den Abschluss einer Menge \( A \), bezeichnet mit \(\text{Cl}(A)\), indem man \( A \) mit der Menge \( A' \) ihrer Häufungspunkte zusammenfasst: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Diese Charakterisierung gehört zu den grundlegenden Konzepten der Topologie. Sie zeigt sofort, welche Punkte man zu \( A \) hinzufügen muss, um eine abgeschlossene Menge zu erhalten.
Der Abschluss umfasst alle Punkte, die in einem unmittelbaren topologischen Bezug zu \( A \) stehen. Dazu gehören die Elemente von \( A \) selbst sowie alle Punkte, die sich durch Elemente von \( A \) beliebig gut approximieren lassen.
Wichtig ist dabei, dass Häufungspunkte im Allgemeinen nicht zu \( A \) gehören müssen.
Daraus folgt: Eine Menge \( A \) ist genau dann abgeschlossen, wenn sie sämtliche Häufungspunkte enthält. $$ A \text{ ist abgeschlossen } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Mit anderen Worten, eine Menge ist abgeschlossen, wenn sie mit ihrem Abschluss übereinstimmt.
Beispiel: das offene Intervall
Betrachten wir das offene Intervall \( A = (0, 1) \) in \( \mathbb{R} \) mit der üblichen Topologie.
$$ A = (0,1) $$
Dieses Intervall umfasst alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1, schließt aber die Randpunkte aus.
Die Häufungspunkte lassen sich leicht bestimmen:
- Jeder Punkt im Inneren \( (0,1) \) ist ein Häufungspunkt, da jede Umgebung weitere Punkte aus \( A \) enthält.
- Auch \( 0 \) ist ein Häufungspunkt, weil jede Umgebung von \( 0 \) Punkte aus \( A \) enthält.
- Dasselbe gilt für \( 1 \): Jede Umgebung von \( 1 \) schneidet \( A \).
Damit ergibt sich:
$$ A' = [0,1] $$
Der Abschluss lautet:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Da \( A \) die Randpunkte nicht enthält, ist es nicht abgeschlossen.
Zweites Beispiel
Nun betrachten wir \( B = [0, 1] \), ein abgeschlossenes Intervall in \( \mathbb{R} \).
$$ B = [0,1] $$
Für jeden Punkt \( x \in B \) gilt:
- Liegt \( x \) im Inneren, sind alle seine Umgebungen reich an Punkten aus \( B \), also gehört \( x \in B' \).
- Auch \( 0 \) und \( 1 \) haben diese Eigenschaft, da jede Umgebung weitere Elemente aus \( B \) enthält.
Damit ergibt sich:
$$ B' = [0,1] $$
Und somit:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
Da \( B \) mit seinem Abschluss übereinstimmt, ist es abgeschlossen.
Beweis der Aussage
Wir zeigen nun, dass für jede Menge \( A \subseteq X \) gilt: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Zur Orientierung:
- Abschluss: Schnitt aller abgeschlossenen Mengen, die \( A \) enthalten.
- Häufungspunkt: Punkt, dessen jede offene Umgebung ein von ihm verschiedenes Element aus \( A \) enthält.
1] Erste Inklusion: \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Da \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) ohnehin gilt, müssen wir nur noch zeigen, dass \( A' \subseteq \text{Cl}(A) \) ist.
Sei \( x \in A' \). Wäre \( x \notin \text{Cl}(A) \), gäbe es eine offene Umgebung \( U \), die \( A \) nicht schneidet. Dies widerspricht jedoch der Definition eines Häufungspunkts. Also gehört jeder Häufungspunkt notwendig zum Abschluss.
Damit gilt: $$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] Zweite Inklusion: \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Sei nun \( x \in \text{Cl}(A) \). Falls \( x \in A \) liegt, ist die Behauptung trivial erfüllt. Liegt \( x \notin A \), dann schneidet jede offene Umgebung von \( x \) die Menge \( A \). Genau das ist die Definition eines Häufungspunkts. Also gehört \( x \in A' \).
Damit gilt: $$ x \in A \cup A' $$
Schluss
Da beide Inklusionen erfüllt sind, folgt: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Diese Beschreibung des Abschlusses ist eines der grundlegenden Werkzeuge zur Analyse topologischer Räume.
