Der Abschluss einer Menge und ihre Häufungspunkte
Der Abschluss einer Menge \( A \) in einem topologischen Raum \( X \), bezeichnet mit \(\text{Cl}(A)\), ist die Vereinigung der Menge \( A \) mit der Menge \( A' \) ihrer Häufungspunkte: $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Diese Beziehung gehört zu den zentralen Aussagen der Topologie. Sie beschreibt präzise, wie sich der Abschluss einer Menge aus ihren eigenen Punkten und den Punkten zusammensetzt, die ihr beliebig nahe kommen.
Anschaulich gesprochen umfasst der Abschluss einer Menge alle Punkte, die im topologischen Sinn nicht von ihr getrennt werden können.
Wichtig ist dabei, dass die Häufungspunkte nicht notwendigerweise selbst zur Menge gehören müssen.
Der folgende Zusammenhang gilt allgemein: Eine Menge \( A \) ist genau dann abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält. $$ A \text{ ist abgeschlossen } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Anders formuliert: Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie mit ihrem Abschluss übereinstimmt.
Anschauliches Beispiel
Betrachten wir die Menge \( A = (0,1) \), eine Teilmenge der reellen Zahlen mit der Standardtopologie.
$$ A = (0,1) $$
Diese Menge enthält alle reellen Zahlen, die strikt zwischen 0 und 1 liegen.
Untersuchen wir nun ihre Häufungspunkte:
- Jeder Punkt \( x \in (0,1) \) ist ein Häufungspunkt, da jede offene Umgebung von \( x \) weitere Elemente aus \( A \) enthält.
- Auch der Punkt \( 0 \) ist ein Häufungspunkt, da jedes offene Intervall der Form \( (0, \varepsilon) \) mit \( \varepsilon > 0 \) Punkte aus \( A \) enthält.
- Entsprechend ist auch der Punkt \( 1 \) ein Häufungspunkt von \( A \), da jede offene Umgebung von \( 1 \) Punkte aus \( A \) enthält.
Damit ergibt sich für die Menge der Häufungspunkte:
$$ A' = [0,1] $$
Die Vereinigung von \( A = (0,1) \) mit seinen Häufungspunkten ergibt somit:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Da \( \text{Cl}(A) \ne A \) gilt, ist \( A \) in der Standardtopologie nicht abgeschlossen:
$$ A \ne \text{Cl}(A) $$
Beispiel 2
Betrachten wir nun die Menge \( B = [0,1] \), ebenfalls als Teilmenge von \( \mathbb{R} \) mit der Standardtopologie.
$$ B = [0,1] $$
Diese Menge enthält alle reellen Zahlen \( x \), für die gilt \( 0 \leq x \leq 1 \).
Bestimmen wir erneut die Häufungspunkte:
- Jeder Punkt \( x \in (0,1) \) ist ein Häufungspunkt, da jede offene Umgebung von \( x \) weitere Punkte aus \( B \) enthält.
- Auch die Randpunkte \( 0 \) und \( 1 \) sind Häufungspunkte, da jede offene Umgebung dieser Punkte das Intervall in Punkten schneidet, die vom jeweiligen Randpunkt verschieden sind.
Damit gilt:
$$ B' = [0,1] $$
Der Abschluss von \( B \) ist somit:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
In diesem Fall stimmt die Menge mit ihrem Abschluss überein. Das bedeutet, dass \( B \) abgeschlossen ist:
$$ B = \text{Cl}(B) = [0,1] $$
Dieses zweite Beispiel verdeutlicht noch einmal, dass eine Menge genau dann abgeschlossen ist, wenn sie mit ihrem Abschluss übereinstimmt.
Formaler Beweis
Wir zeigen nun allgemein, dass für jede Teilmenge \( A \subseteq X \) gilt:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
wobei \( A' \) die Menge der Häufungspunkte von \( A \) bezeichnet.
Zunächst erinnern wir an zwei grundlegende Begriffe:
- Abschluss von \( A \): die Schnittmenge aller abgeschlossenen Mengen, die \( A \) enthalten.
- Häufungspunkt: Ein Punkt \( x \in X \) heißt Häufungspunkt von \( A \), wenn jede Umgebung von \( x \) mindestens ein Element aus \( A \setminus \{x\} \) enthält.
1] \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Da \( \text{Cl}(A) \) per Definition abgeschlossen ist und \( A \) enthält, gilt unmittelbar:
$$ A \subseteq \text{Cl}(A) $$
Sei nun \( x \in A' \). Nach Definition schneidet jede Umgebung von \( x \) die Menge \( A \setminus \{x\} \). Angenommen, es gelte \( x \notin \text{Cl}(A) \). Dann gäbe es eine Umgebung \( U \) von \( x \), für die \( U \cap \text{Cl}(A) = \emptyset \) gilt. Daraus folgte insbesondere \( U \cap A = \emptyset \), im Widerspruch zur Annahme, dass \( x \) ein Häufungspunkt von \( A \) ist.
Folglich gilt:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
Zusammen ergibt sich:
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Sei \( x \in \text{Cl}(A) \). Falls \( x \in A \) gilt, so ist unmittelbar \( x \in A \cup A' \).
Angenommen hingegen, \( x \notin A \). Da \( x \in \text{Cl}(A) \) liegt, schneidet jede Umgebung von \( x \) die Menge \( A \). Damit ist \( x \) ein Häufungspunkt von \( A \).
Also gilt:
$$ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
3] Schlussfolgerung
Da beide Inklusionen gelten, nämlich
$$ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \quad \text{und} \quad \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $$
folgt insgesamt:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Damit ist der Beweis vollständig erbracht.
