El principio de incertidumbre o de indeterminación de Heisenberg
El principio de incertidumbre de Heisenberg, también conocido como principio de indeterminación de Heisenberg, establece que ciertos pares de observables físicos, llamados variables conjugadas, no pueden presentar simultáneamente incertidumbres arbitrariamente pequeñas dentro de un mismo estado cuántico. El ejemplo más conocido es el de la posición y el momento lineal de una partícula.
En la bibliografía científica en español se utilizan tanto la expresión principio de incertidumbre como la denominación principio de indeterminación. La primera destaca la dispersión estadística de los resultados posibles, mientras que la segunda subraya que determinados observables incompatibles no pueden poseer al mismo tiempo valores perfectamente definidos. En mecánica cuántica, ambas expresiones hacen referencia al mismo principio físico.
Este principio transformó profundamente la concepción clásica de la medición y se convirtió en uno de los fundamentos de la mecánica cuántica.
Por ejemplo, la posición y el momento lineal de una partícula no pueden estar definidos simultáneamente con una precisión arbitraria. Cuanto menor es la incertidumbre asociada a uno de estos observables, mayor debe ser la correspondiente al otro.
No se trata de una simple limitación de los instrumentos de medida, sino de una propiedad fundamental de los estados cuánticos. Incluso con instrumentos ideales, la relación de incertidumbre seguiría siendo válida.
Nota. En mecánica cuántica, ciertos observables no pueden poseer simultáneamente valores arbitrariamente bien definidos en un mismo estado. Por tanto, la incertidumbre o indeterminación cuántica no es una limitación tecnológica ni una deficiencia de la teoría. Es una característica esencial de la descripción cuántica de la naturaleza. Comprender este principio permite adentrarse en una de las ideas más profundas de la física moderna y de nuestra visión del mundo microscópico.
La relación de incertidumbre entre posición y momento lineal
La relación de incertidumbre más conocida es la que vincula la posición con el momento lineal.
$$ \Delta x \, \Delta p \ge \frac{\hbar}{2} $$
donde:
- \(\Delta x\) es la incertidumbre en la posición;
- \(\Delta p\) es la incertidumbre en el momento lineal;
- \(\hbar=\dfrac{h}{2\pi}\) es la constante de Planck reducida.
La ecuación indica que el producto de ambas incertidumbres nunca puede ser menor que \(\hbar/2\).
¿Qué significa realmente esta relación?
Si disminuye la incertidumbre en la posición de una partícula, debe aumentar la incertidumbre en su momento lineal.
A la inversa, si el momento lineal se conoce con gran precisión, aumenta la incertidumbre en la posición.
En otras palabras, ambas incertidumbres no pueden reducirse simultáneamente a cero.
Supongamos, por ejemplo, que intentamos determinar con mayor precisión la posición de una partícula. En ese caso, la incertidumbre \(\Delta x\) disminuye.
Como el miembro derecho de la desigualdad contiene una constante fija, la incertidumbre en el momento lineal \(\Delta p\) debe aumentar. El mismo razonamiento puede aplicarse en sentido inverso.
Un ejemplo intuitivo
Imaginemos que queremos observar un electrón.
Para detectarlo mediante radiación electromagnética, debemos hacer que un fotón interactúe con él. Durante esa interacción, el fotón transfiere momento lineal al electrón y modifica su movimiento posterior.
Si utilizamos fotones de alta energía y longitud de onda muy corta, podemos localizar el electrón con mayor precisión. Sin embargo, la interacción provoca una variación más intensa de su momento lineal.
Si empleamos fotones de menor energía y mayor longitud de onda, la perturbación del momento lineal es menor, pero la posición del electrón no puede resolverse con la misma precisión.
El microscopio de rayos gamma de Heisenberg
Heisenberg ilustró esta idea mediante un experimento mental conocido como el microscopio de rayos gamma.
Podemos distinguir dos situaciones límite.
- Alta resolución. La longitud de onda es muy corta. La posición de la partícula puede determinarse con gran precisión, pero el fotón le transfiere una cantidad relativamente grande de momento lineal y altera de manera significativa su movimiento.
- Baja resolución. La longitud de onda es mayor. El momento lineal de la partícula se perturba menos, pero su posición se determina con menor precisión debido al límite de resolución óptica del microscopio.
Este experimento mental ayuda a visualizar el compromiso entre la resolución espacial y la perturbación del momento lineal. Sin embargo, la formulación moderna del principio de incertidumbre no depende únicamente de la alteración producida durante la medición. En un nivel más profundo, se deriva de la propia estructura matemática de la mecánica cuántica.
El origen ondulatorio del principio de incertidumbre
El principio de incertidumbre no surge exclusivamente del acto de medir. También es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la materia, introducida por la hipótesis de de Broglie y desarrollada posteriormente en la mecánica ondulatoria.
Toda partícula cuántica se describe mediante una función de onda. Las representaciones de esa función en el espacio de posiciones y en el espacio de momentos están relacionadas matemáticamente mediante una transformada de Fourier.
Una función de onda muy localizada en el espacio de posiciones debe construirse mediante la superposición de numerosas ondas con distintas longitudes de onda. Esto implica la presencia de diferentes componentes de momento lineal y, por tanto, una mayor dispersión de sus posibles valores.
La formulación matemática
La primera demostración rigurosa de la relación de incertidumbre entre posición y momento lineal fue presentada por Earle Hesse Kennard en 1927.
$$ \sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2} $$
En esta formulación, las incertidumbres están representadas por las desviaciones estándar de las distribuciones de probabilidad correspondientes a la posición y al momento lineal en un estado cuántico determinado.
Así, \(\sigma_x\) cuantifica la dispersión de los posibles resultados de una medición de la posición, mientras que \(\sigma_p\) cuantifica la dispersión de los posibles resultados de una medición del momento lineal.
Operadores que no conmutan
En mecánica cuántica, cada observable físico está representado por un operador.
Los operadores de posición y de momento lineal no conmutan.
$$ [\hat{x},\hat{p}] = i\hbar $$
El conmutador se define mediante la expresión:
$$ [\hat{x},\hat{p}] = \hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x} $$
Esta no conmutatividad implica que ningún estado cuántico puede ser simultáneamente un estado propio de la posición y del momento lineal con valores perfectamente definidos.
De forma más general, la relación de incertidumbre de Robertson vincula las desviaciones estándar de dos observables con el valor esperado de su conmutador.
$$ \sigma_A\sigma_B \ge \frac{1}{2}\left|\left\langle[\hat A,\hat B]\right\rangle\right| $$
Otras relaciones de incertidumbre
El principio de incertidumbre no se limita a la posición y al momento lineal. Existen relaciones análogas para muchos otros pares de observables representados por operadores que no conmutan.
Energía y tiempo
La relación entre energía y tiempo suele expresarse de forma aproximada como:
$$ \Delta E \, \Delta t \gtrsim \frac{\hbar}{2} $$
Esta relación requiere una interpretación más cuidadosa que la correspondiente a la posición y al momento lineal. En la formulación habitual de la mecánica cuántica, el tiempo se trata normalmente como un parámetro y no como un operador autoadjunto conjugado al hamiltoniano.
Según el contexto físico, \(\Delta t\) puede representar un tiempo característico de evolución, la duración de un proceso, el intervalo necesario para que un observable cambie de manera apreciable o el tiempo de vida de un estado inestable.
La relación entre energía y tiempo ayuda a interpretar diversos fenómenos físicos.
- la duración finita de los estados excitados o inestables;
- la anchura natural de las líneas espectrales;
- las escalas temporales características de determinados procesos cuánticos;
- algunos aspectos de los procesos con estados virtuales o fuera de la capa de masa en teoría cuántica de campos.
Sin embargo, no es correcto afirmar que las partículas virtuales toman prestada energía durante un breve intervalo y violan temporalmente el principio de conservación de la energía. En teoría cuántica de campos, la energía se conserva. Las partículas virtuales son elementos internos de los cálculos perturbativos y no partículas directamente observables.
Momento angular
Las componentes cartesianas del momento angular satisfacen relaciones de incertidumbre de la forma:
$$ \sigma_{J_i}\sigma_{J_j} \ge \frac{\hbar}{2} \left| \langle J_k\rangle \right| $$
Las distintas componentes del momento angular no pueden poseer simultáneamente incertidumbres arbitrariamente pequeñas.
Para las permutaciones cíclicas de \(i\), \(j\) y \(k\), sus operadores satisfacen la relación de conmutación:
$$ [\hat J_i,\hat J_j]=i\hbar\hat J_k $$
Por ejemplo:
$$ [\hat J_x,\hat J_y]=i\hbar\hat J_z $$
Esto significa que un estado puede tener un valor bien definido de una componente del momento angular, pero no valores perfectamente definidos de las tres componentes cartesianas al mismo tiempo.
Número de partículas y fase
En óptica cuántica y en la teoría de la superconductividad, las relaciones de incertidumbre entre número y fase suelen escribirse de forma esquemática como:
$$ \Delta N \, \Delta \phi \gtrsim 1 $$
Esta expresión representa un compromiso entre la incertidumbre en el número de partículas y la incertidumbre en la fase.
En los superconductores, la variable numérica pertinente suele estar relacionada con el número de pares de Cooper, mientras que \(\phi\) representa la fase del parámetro de orden superconductivo.
El factor numérico exacto y la formulación matemática dependen de las definiciones adoptadas. La fase cuántica no posee un operador autoadjunto universalmente aceptado y directamente análogo al operador de posición. Por ello, esta relación no debe interpretarse con la misma generalidad ni con la misma sencillez que la relación entre posición y momento lineal.
El debate entre Einstein y Bohr
El principio de incertidumbre contribuyó a desencadenar uno de los debates más importantes de la historia de la física.
Albert Einstein consideraba que la mecánica cuántica no proporcionaba una descripción completa de la realidad física. Aunque reconocía su extraordinario éxito predictivo, rechazaba la idea de que la probabilidad irreducible y la indeterminación constituyeran la descripción definitiva de la naturaleza.
Einstein exploró la posibilidad de que una teoría más profunda pudiera explicar los fenómenos cuánticos mediante variables adicionales o mediante una descripción más completa de los estados físicos.
Su célebre afirmación, "Dios no juega a los dados", resume su resistencia a considerar el azar fundamental como una propiedad irreducible de la naturaleza.
Niels Bohr defendía el marco conceptual habitualmente asociado con la interpretación de Copenhague. Sostenía que los fenómenos cuánticos no podían describirse al margen de las condiciones experimentales empleadas para observarlos y que las relaciones de incertidumbre expresaban una característica fundamental de la descripción cuántica, no una deficiencia de la teoría.
Bohr respondió a las objeciones de Einstein defendiendo la coherencia de la mecánica cuántica dentro de su ámbito de aplicación. El prolongado debate entre ambos desempeñó un papel decisivo en la clarificación de los fundamentos conceptuales de la teoría cuántica.
El argumento EPR
En 1935, Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen presentaron un experimento mental que pasó a conocerse como el argumento EPR o la paradoja EPR.
Su propósito era mostrar que, si se aceptaban la localidad y el criterio de realidad física formulado por los propios autores, la función de onda de la mecánica cuántica no podía constituir una descripción completa de la realidad física.
Einstein, Podolsky y Rosen sostenían que una teoría más completa podría contener variables adicionales capaces de asignar valores definidos a propiedades que la mecánica cuántica estándar no considera determinadas antes de la medición.
El argumento EPR impulsó una intensa investigación sobre el entrelazamiento cuántico, la localidad y la completitud de la mecánica cuántica.
Décadas después, el teorema de Bell demostró que ninguna teoría de variables ocultas locales que satisfaga las hipótesis de Bell puede reproducir todas las predicciones estadísticas de la mecánica cuántica.
Los experimentos realizados posteriormente han mostrado de forma reiterada violaciones de las desigualdades de Bell compatibles con las predicciones cuánticas. Estos resultados descartan amplias clases de teorías de variables ocultas locales.
Sin embargo, el teorema de Bell no excluye todas las teorías de variables ocultas, ya que siguen siendo posibles las teorías explícitamente no locales.
La crítica de Popper
El filósofo Karl Popper criticó la interpretación de Copenhague y defendió una interpretación estadística, también denominada interpretación de conjuntos, de las relaciones de incertidumbre.
Según Popper, estas relaciones debían entenderse principalmente como restricciones aplicables a las distribuciones estadísticas de conjuntos de partículas preparadas de manera idéntica, y no como simples afirmaciones sobre una falta subjetiva de conocimiento acerca de una partícula individual.
Su postura contribuyó al debate filosófico sobre la interpretación de la mecánica cuántica, aunque no modificó las predicciones experimentalmente comprobables de la teoría.
Desarrollos modernos
La investigación contemporánea ha ampliado y refinado las relaciones de incertidumbre originales.
Relaciones de incertidumbre entrópicas
Las relaciones de incertidumbre entrópicas emplean magnitudes procedentes de la teoría de la información, como la entropía de Shannon, para cuantificar la incertidumbre en lugar de recurrir únicamente a las desviaciones estándar.
Este enfoque es más general en varios aspectos y resulta especialmente útil cuando la varianza no ofrece una descripción completa o adecuada de la incertidumbre asociada a una distribución de probabilidad.
Además, las relaciones entrópicas desempeñan un papel importante en la teoría de la información cuántica, la criptografía cuántica y el estudio del entrelazamiento.
La relación entre error y perturbación de Ozawa
Masanao Ozawa distinguió la incertidumbre estadística intrínseca de un estado cuántico del error de medición y de la perturbación introducida por el aparato de medida.
$$ \varepsilon_A\eta_B + \varepsilon_A\sigma_B + \sigma_A\eta_B \ge \frac12 \left| \langle[\hat A,\hat B]\rangle \right| $$
En esta expresión:
- \(\varepsilon_A\) representa el error de medición asociado al observable \(A\);
- \(\eta_B\) representa la perturbación inducida por la medición en el observable \(B\);
- \(\sigma_A\) es la desviación estándar intrínseca del observable \(A\) en el estado cuántico inicial;
- \(\sigma_B\) es la desviación estándar intrínseca del observable \(B\) en el estado cuántico inicial.
Esta relación generaliza la formulación tradicional de error y perturbación asociada a Heisenberg, ya que distingue con claridad tres conceptos diferentes: el error de medición, la perturbación provocada por el proceso de medida y las incertidumbres cuánticas intrínsecas del estado.
Por tanto, las relaciones de incertidumbre entre observables no deben confundirse con las relaciones entre el error de un aparato y la perturbación que este introduce. Aunque ambos problemas están relacionados desde el punto de vista histórico, corresponden a formulaciones físicas y matemáticas distintas.
