Frontieră vidă și mulțimi clopen
Frontiera \(\partial A\) a unei mulțimi \(A\) este vidă dacă și numai dacă \(A\) este simultan deschisă și închisă (clopen) : $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ este clopen} $$
În termeni intuitivi, aceasta înseamnă că \(A\) nu are puncte de frontieră. Nu există niciun punct care să aparțină în același timp atât închiderii lui \(A\), cât și închiderii complementarei sale. O astfel de mulțime este complet „separată” de exteriorul ei.
Exemple
Exemplul 1
Considerăm mulțimea vidă \( A = \emptyset \), în spațiul topologic \(\mathbb{R}\) dotat cu topologia uzuală.
Determinăm frontiera sa :
$$ \text{Cl}(A) = \emptyset $$
Complementara este \(A^c = \mathbb{R}\), iar închiderea acesteia coincide cu întregul \(\mathbb{R}\), deoarece \(\mathbb{R}\) este o mulțime închisă :
$$ \text{Cl}(A^c) = \mathbb{R} $$
Rezultă imediat :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset \cap \mathbb{R} = \emptyset $$
Frontiera este vidă, deci \(A\) este clopen. De fapt, mulțimea vidă este deschisă prin definiție și este închisă deoarece este egală cu propria sa închidere, neavând puncte de acumulare.
Exemplul 2
Considerăm acum mulțimea \( A = \mathbb{R} \), tot cu topologia uzuală.
Închiderea sa este :
$$ \text{Cl}(A) = \mathbb{R} $$
Complementara este \(A^c = \emptyset\), a cărei închidere este din nou vidă :
$$ \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Prin urmare :
$$ \partial A = \mathbb{R} \cap \emptyset = \emptyset $$
Și în acest caz obținem o mulțime clopen. Mulțimea \(\mathbb{R}\) este deschisă și închisă, deoarece coincide cu închiderea sa și nu are frontieră.
Exemplul 3
Fie \(A = [0,1)\), considerată în \(\mathbb{R}\) cu topologia uzuală.
Închiderea lui \(A\) este \([0,1]\), iar complementara sa este \(A^c = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)\).
Închiderea complementarei este :
$$ \text{Cl}(A^c) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Frontiera lui \(A\) este atunci :
$$ \partial A = [0,1] \cap \left( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \right) = \{0, 1\} $$
De această dată, frontiera nu este vidă, deci \(A\) nu este clopen. Mai precis, \(A = [0,1)\) este o mulțime semi-deschisă, care nu este nici deschisă, nici închisă în \(\mathbb{R}\) cu topologia uzuală.
Aceste exemple evidențiază clar ideea centrală: o mulțime are frontieră vidă dacă și numai dacă este simultan deschisă și închisă, adică este clopen.
Demonstrație
Prin definiție, frontiera unei mulțimi \(A\) este :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) $$
Vom demonstra echivalența $$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ este clopen} $$ analizând separat cele două implicații.
1] Dacă frontiera este vidă, atunci \(A\) este deschisă și închisă
Să presupunem că :
$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = \emptyset $$
Rezultă că cele două închideri sunt disjuncte.
\(A\) este închisă
Din relația de mai sus obținem :
$$ \text{Cl}(A) \subseteq \left( \text{Cl}(A^c) \right)^c \subseteq (A^c)^c = A $$
Dar incluziunea \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) este întotdeauna adevărată, deci :
$$ \text{Cl}(A) = A $$
Prin urmare, \(A\) este închisă.
\(A\) este deschisă
În mod analog :
$$ \text{Cl}(A^c) \subseteq A^c $$
Rezultă că \(A^c\) este închisă, ceea ce implică faptul că \(A\) este deschisă.
Concluzionăm că, dacă frontiera lui \(A\) este vidă, atunci \(A\) este simultan deschisă și închisă, deci clopen.
2] Dacă \(A\) este clopen, atunci frontiera sa este vidă
Să presupunem acum că \(A\) este clopen.
Atunci :
$$ A = \text{Cl}(A), \quad A^c = \text{Cl}(A^c) $$
În consecință :
$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(A^c) = A \cap A^c $$
Dar intersecția unei mulțimi cu complementara sa este întotdeauna vidă :
$$ \partial A = \emptyset $$
3] Concluzie
Am demonstrat riguros că :
$$ \partial A = \emptyset \Leftrightarrow A \text{ este clopen} $$
Ceea ce trebuia demonstrat.
