Frontiera unei mulțimi: intersecția dintre închidere și complementară

Fie \( A \) o submulțime a unui spațiu topologic \( X \). Frontiera \( \partial A \) este definită ca mulțimea punctelor care aparțin simultan închiderii lui \( A \) și închiderii complementarei sale: $$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Cu alte cuvinte, frontiera unei mulțimi \( A \) apare exact acolo unde se „întâlnesc” închiderea lui \( A \) și închiderea mulțimii complementare \( X \setminus A \).

Intersecția \(\text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A)\) cuprinde punctele care sunt aderente atât la \( A \), cât și la complementara sa. Aceste puncte se află la limita dintre cele două mulțimi, motiv pentru care ele descriu în mod natural frontiera lui \( A \).

Exemplu concret

Să considerăm mulțimea \( A = (0, 1) \), adică intervalul deschis dintre 0 și 1 pe dreapta reală \(\mathbb{R}\).

Închiderea acestui interval include toate punctele dintre 0 și 1, cu capetele incluse:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Complementara lui \( A \) în \(\mathbb{R}\) este mulțimea \( (-\infty, 0] \cup [1, \infty) \), iar închiderea sa coincide cu aceasta:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Frontiera lui \( A \) se obține prin intersecția celor două închideri:

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Rezultă că frontiera intervalului \( (0, 1) \) este formată din punctele \( 0 \) și \( 1 \), care reprezintă exact capetele intervalului în \(\mathbb{R}\).

Demonstrație

Prin definiție, frontiera \(\partial A\) a unei submulțimi \( A \subseteq X \) este formată din acele puncte \( x \in X \) pentru care orice vecinătate a lui \( x \) intersectează atât mulțimea \( A \), cât și complementara sa \( X \setminus A \):

$$ \partial A = \{ x \in X \mid \forall U \in \mathcal{N}(x),\ U \cap A \neq \emptyset \ \text{și} \ U \cap (X \setminus A) \neq \emptyset \} $$

Aici, \(\mathcal{N}(x)\) desemnează familia tuturor vecinătăților punctului \( x \).

Demonstrația se desfășoară în două etape clare.

1] Demonstrarea incluziunii \( \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \)

Fie \( x \in \partial A \). Conform definiției, orice vecinătate a lui \( x \) intersectează atât \( A \), cât și \( X \setminus A \). Prin urmare:

• \( x \in \text{Cl}(A) \), deoarece vecinătățile sale intersectează \( A \).
• \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \), deoarece aceleași vecinătăți intersectează și complementara.

Rezultă că \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \), ceea ce dovedește incluziunea dorită.

$$ \partial A \subseteq \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

2] Demonstrarea incluziunii \( \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A \)

Fie \( x \in \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \).

• Din \( x \in \text{Cl}(A) \) rezultă că orice vecinătate a lui \( x \) intersectează \( A \).
• Din \( x \in \text{Cl}(X \setminus A) \) rezultă că orice vecinătate a lui \( x \) intersectează și complementara.

Prin urmare, \( x \) îndeplinește condiția de apartenență la frontieră:

$$ x \in \partial A $$

De unde obținem incluziunea:

$$ \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \subseteq \partial A $$

3] Concluzie

Deoarece am demonstrat ambele incluziuni, rezultă egalitatea:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) $$

Aceasta confirmă caracterizarea frontierei ca intersecție dintre închiderea unei mulțimi și închiderea complementarei sale și încheie demonstrația.