Frontiera unui ansamblu este întotdeauna o mulțime închisă
În topologie, frontiera unui ansamblu este întotdeauna o mulțime închisă. Acest fapt rezultă direct din definiția frontierei, care este dată ca intersecția dintre închiderea ansamblului \(A\) și închiderea complementului său: $$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Fie \(X\) un spațiu topologic. Frontiera unui ansamblu \(A \subset X\), notată \(\partial A\), reprezintă ansamblul punctelor care se află atât „în apropierea" lui \(A\), cât și „în apropierea" complementului său \(X - A\). Din punct de vedere formal, aceasta este definită prin relația: \(\partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A)\).
Deoarece închiderea unui ansamblu este întotdeauna o mulțime închisă, iar intersecția a două mulțimi închise rămâne închisă, rezultă imediat că frontiera \(\partial A\) este, în mod necesar, o mulțime închisă.
Exemplu concret
Pentru a ilustra această proprietate, să considerăm spațiul topologic \(\mathbb{R}\), dotat cu topologia uzuală, în care mulțimile deschise sunt intervalele deschise.
Fie ansamblul \(A = (0, 1)\), adică intervalul deschis dintre 0 și 1.
Închiderea lui \(A\), notată \(Cl(A)\), este intervalul închis \([0, 1]\). Acesta conține toate punctele din \(A\), precum și punctele de acumulare ale intervalului, respectiv 0 și 1.
Complementul lui \(A\) în \(\mathbb{R}\) este:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Acest ansamblu este deja închis, astfel încât închiderea sa coincide cu el însuși:
$$ Cl(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$
Frontiera lui \(A\) se obține ca intersecție a celor două închideri:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(\mathbb{R} - A) $$
$$ \partial A = [0, 1] \cap \bigl((-\infty, 0] \cup [1, \infty)\bigr) = \{0, 1\} $$
În acest exemplu, frontiera ansamblului \(A\) este formată din punctele \(\{0, 1\}\), care constituie o mulțime închisă în \(\mathbb{R}\).
Demonstrație
Demonstrația afirmației se bazează pe proprietăți fundamentale ale topologiei generale.
În orice spațiu topologic \(X\), închiderea unui ansamblu \(A\), notată \(\overline{A}\) sau \(Cl(A)\), este prin definiție o mulțime închisă. Mai precis, ea este cea mai mică mulțime închisă care conține ansamblul \(A\).
Complementul unui ansamblu \(A\), notat \(X - A\), este deschis dacă și numai dacă \(A\) este închis. În mod dual, el este închis atunci când \(A\) este deschis.
Prin definiție, frontiera unui ansamblu \(A\) este:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
O proprietate esențială a spațiilor topologice afirmă că intersecția finită a mulțimilor închise este, la rândul ei, o mulțime închisă.
Aplicând această proprietate, obținem imediat:
- \(Cl(A)\) este o mulțime închisă.
- \(Cl(X - A)\) este, de asemenea, o mulțime închisă.
- Intersecția lor, \(Cl(A) \cap Cl(X - A)\), este o mulțime închisă.
Prin urmare, frontiera oricărui ansamblu \(A\), definită ca intersecție a două închideri, este întotdeauna o mulțime închisă:
$$ \partial A = Cl(A) \cap Cl(X - A) $$
Această concluzie este valabilă în orice spațiu topologic și constituie una dintre proprietățile de bază ale noțiunii de frontieră.
