Intersecția dintre frontiera și interiorul unei mulțimi

Intersecția dintre frontiera $ \partial A $ și interiorul $ \text{Int}(A) $ unei mulțimi este întotdeauna vidă: $$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Această proprietate exprimă una dintre relațiile de bază din topologie, clarificând modul în care sunt legate noțiunile de frontieră și interior ale unei mulțimi.

Exemplu numeric
Demonstrație

Exemplu numeric

Să lucrăm într-un cadru familiar. Considerăm spațiul topologic $\mathbb{R}$, înzestrat cu topologia uzuală, în care mulțimile deschise sunt intervalele deschise.

Luăm mulțimea $A = (0, 1)$, adică intervalul deschis cuprins între 0 și 1.

Interiorul mulțimii $A$ este format din toate punctele care admit o vecinătate complet inclusă în $A$. În acest exemplu, fiecare punct al intervalului are această proprietate, deci:

$$ \text{Int}(A) = A = (0, 1) $$

Închiderea lui $A$ conține atât punctele din $A$, cât și punctele sale de acumulare, respectiv extremitățile 0 și 1:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Complementul lui $A$ în $\mathbb{R}$ este:

$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Acest complement este o mulțime închisă, astfel încât închiderea sa coincide cu el însuși:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0] \cup [1, \infty) $$

Prin definiție, frontiera mulțimii $A$ este intersecția celor două închideri:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(\mathbb{R} - A) $$

$$ \partial A = [0, 1] \cap ((-\infty, 0] \cup [1, \infty)) $$

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Intersecția dintre frontieră și interior este, așadar:

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cap (0, 1) = \emptyset $$

Observăm că punctele de frontieră nu aparțin interiorului mulțimii. Cele două regiuni sunt complet separate.

Acest exemplu ilustrează clar faptul că frontiera unei mulțimi nu are niciun punct comun cu interiorul acesteia:

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Demonstrație

Rezultatul poate fi justificat riguros pornind de la definițiile fundamentale ale topologiei.

Prin definiție, frontiera unei mulțimi $A$ este:

$$ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X - A) $$

Punctele de frontieră sunt acele puncte pentru care orice vecinătate intersectează atât mulțimea $A$, cât și complementul ei. Ele se află, prin urmare, „la limită” între cele două.

Interiorul $ \text{Int}(A) $, în schimb, este alcătuit din punctele lui $A$ care admit o vecinătate deschisă complet inclusă în $A$. Aceste puncte sunt situate strict în interiorul mulțimii.

Să presupunem că $x \in \partial A$. Atunci:

$x \in \text{Cl}(A)$, ceea ce implică faptul că orice vecinătate a lui $x$ intersectează mulțimea $A$;
$x \in \text{Cl}(X - A)$, deci orice vecinătate a lui $x$ intersectează și complementul lui $A$.

În aceste condiții, nicio vecinătate a lui $x$ nu poate fi conținută în întregime în $A$. Prin urmare:

$$ x \notin \text{Int}(A) $$

Reciproc, dacă $y \in \text{Int}(A)$, atunci există o vecinătate deschisă a lui $y$ complet inclusă în $A$. Această vecinătate nu poate intersecta complementul $X - A$, ceea ce implică:

$$ y \notin \text{Cl}(X - A) \Rightarrow y \notin \partial A $$

Din aceste observații rezultă că frontiera și interiorul unei mulțimi nu au puncte comune:

$$ \partial A \cap \text{Int}(A) = \emptyset $$

Q.E.D.