Uniunea frontierei și a interiorului unei mulțimi

În topologie, există o relație simplă și elegantă între interiorul unei mulțimi, frontiera sa și închiderea acesteia. Mai precis, uniunea dintre frontiera \( \partial A \) a unei mulțimi și interiorul său \( \text{Int}(A) \) coincide exact cu închiderea mulțimii: $$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Exemplu

Pentru a vedea concret cum funcționează această relație, să considerăm mulțimea \( A = (0, 1) \) din spațiul topologic \(\mathbb{R}\), dotat cu topologia uzuală.

Interiorul lui \(A\) este chiar intervalul deschis \( (0, 1) \), deoarece fiecare punct din acest interval admite un vecinaj inclus în întregime în \(A\):

$$ \text{Int}(A) = (0, 1) $$

Închiderea lui \(A\) este intervalul închis \( [0, 1] \), care conține atât punctele din \(A\), cât și punctele-limită ale acestuia:

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Frontiera lui \(A\) este formată din extremitățile intervalului, adică din punctele care nu sunt nici strict interioare, nici complet exterioare mulțimii:

$$ \partial A = \{0, 1\} $$

Se observă imediat că, reunind interiorul cu frontiera, obținem exact închiderea mulțimii:

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \{0, 1\} \cup (0, 1) = [0, 1] $$

$$ \partial A \cup \text{Int}(A) = \text{Cl}(A) $$

Acest exemplu arată clar că orice punct al închiderii unei mulțimi este fie un punct interior, fie un punct de frontieră, fără suprapunere între cele două categorii.

Demonstrație

Pentru o înțelegere completă, să reamintim câteva definiții esențiale din topologie:

1. Interiorul lui \(A\) (\( \text{Int}(A) \))
   Mulțimea tuturor punctelor din \(A\) care admit un vecinaj deschis inclus în întregime în \(A\).
2. Închiderea lui \(A\) (\( \text{Cl}(A) \))
   Cel mai mic subansamblu închis care conține pe \(A\). Aceasta include punctele lui \(A\) și toate punctele sale de aderență. În particular, avem relația:
   \[ \text{Cl}(A) = A \cup \partial A \]
3. Frontiera lui \(A\) (\( \partial A \))
   Mulțimea punctelor care aparțin atât închiderii lui \(A\), cât și închiderii complementului său:
   \[ \partial A = \text{Cl}(A) \cap \text{Cl}(X \setminus A) \]

Fie \(A \subseteq X\) un subansamblu arbitrar al unui spațiu topologic.

Prin definiție, închiderea lui \(A\) se descompune în mod natural în două părți distincte:

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

În plus, interiorul lui \(A\) și frontiera sa nu au puncte comune:

$$ \text{Int}(A) \cap \partial A = \emptyset $$

Rezultă astfel că această reuniune este disjunctă și acoperă în mod complet închiderea mulțimii \(A\):

$$ \text{Cl}(A) = \text{Int}(A) \cup \partial A $$

Q.E.D.