Charakterisierung der Stetigkeit durch abgeschlossene Mengen
Seien \( X \) und \( Y \) zwei topologische Räume. Eine Abbildung \( f : X \to Y \) heißt genau dann stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge \( C \subseteq Y \) eine abgeschlossene Teilmenge von \( X \) ist.
Dieser Satz beschreibt eine wichtige und sehr nützliche Charakterisierung der Stetigkeit von Abbildungen zwischen topologischen Räumen.
Normalerweise wird Stetigkeit über offene Mengen definiert. Eine Abbildung gilt als stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge von \( Y \) eine offene Menge in \( X \) ist.
Der folgende Satz zeigt jedoch, dass man dieselbe Eigenschaft auch mit Hilfe abgeschlossener Mengen formulieren kann. Genauer gesagt gilt: Eine Abbildung \( f : X \to Y \) ist stetig, wenn für jede abgeschlossene Menge \( C \subseteq Y \) das Urbild \( f^{-1}(C) \) eine abgeschlossene Menge in \( X \) ist.
Bemerkung : Diese Aussage verdeutlicht die enge Beziehung zwischen offenen und abgeschlossenen Mengen. In der Topologie ist jede abgeschlossene Menge das Komplement einer offenen Menge und umgekehrt.
Ein konkretes Beispiel
Betrachten wir die Funktion \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definiert durch
$$ f(x) = x^2 $$
Wir arbeiten hier mit der üblichen Topologie auf \( \mathbb{R} \), in der offene Mengen durch offene Intervalle oder Vereinigungen solcher Intervalle gegeben sind.
Um die oben genannte Eigenschaft zu überprüfen, betrachten wir eine abgeschlossene Menge im Zielraum \( Y \).
Ein einfaches Beispiel ist die Menge
\( C = [1, +\infty) \subseteq Y \)
Diese Menge ist abgeschlossen, weil sie ihren Randpunkt enthält.
Nun bestimmen wir das Urbild dieser Menge unter der Funktion \( f \).
$$ f^{-1}(C) = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in [1, +\infty) \} $$
Das bedeutet, dass wir alle reellen Zahlen suchen, deren Quadrat größer oder gleich \(1\) ist. Daraus folgt
$$ f^{-1}(C) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) $$
Diese Menge ist ebenfalls abgeschlossen in \( \mathbb{R} \), da sie als Vereinigung zweier abgeschlossener Intervalle dargestellt werden kann.
Damit sehen wir: Das Urbild der abgeschlossenen Menge \( [1, +\infty) \) ist wieder eine abgeschlossene Menge in \( X \).
Wendet man dieses Argument auf beliebige abgeschlossene Mengen im Zielraum an, erhält man daraus unmittelbar, dass die Funktion \( f(x) = x^2 \) stetig ist.
Beweis
Der Beweis des Satzes besteht aus zwei Teilen. Zuerst zeigen wir eine Richtung der Aussage, anschließend die Umkehrung.
1] (⇒) Ist \( f \) stetig, dann ist das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen.
Nach der Definition der Stetigkeit gilt: Das Urbild jeder offenen Menge von \( Y \) ist eine offene Menge in \( X \).
Sei nun \( C \subseteq Y \) eine abgeschlossene Menge. Dann ist ihr Komplement
\( Y \setminus C \)
eine offene Menge in \( Y \).
Da \( f \) stetig ist, ist das Urbild dieser offenen Menge ebenfalls offen:
\( f^{-1}(Y \setminus C) \)
Außerdem gilt die Beziehung
\( f^{-1}(Y \setminus C) = X \setminus f^{-1}(C) \)
Das Urbild eines Komplements ist also das Komplement des Urbilds.
Wenn nun \( X \setminus f^{-1}(C) \) offen ist, dann ist \( f^{-1}(C) \) eine abgeschlossene Menge in \( X \).
Damit folgt: Ist \( f \) stetig, so ist das Urbild jeder abgeschlossenen Menge ebenfalls abgeschlossen.
2] (⇐) Ist das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen, dann ist \( f \) stetig.
Nehmen wir nun umgekehrt an, dass für jede abgeschlossene Menge \( C \subseteq Y \) das Urbild \( f^{-1}(C) \) in \( X \) abgeschlossen ist.
Sei \( U \subseteq Y \) eine offene Menge. Dann ist ihr Komplement
\( Y \setminus U \)
eine abgeschlossene Menge in \( Y \).
Nach Voraussetzung ist daher
\( f^{-1}(Y \setminus U) \)
eine abgeschlossene Menge in \( X \).
Es gilt wieder
\( f^{-1}(Y \setminus U) = X \setminus f^{-1}(U) \)
Daraus folgt unmittelbar, dass \( f^{-1}(U) \) eine offene Menge in \( X \) ist.
Damit erfüllt \( f \) die Definition der Stetigkeit und ist folglich stetig.
3] Schlussfolgerung
Wir haben beide Richtungen gezeigt. Daher gilt insgesamt:
Eine Abbildung \( f : X \to Y \) ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder abgeschlossenen Menge \( C \subseteq Y \) eine abgeschlossene Menge in \( X \) ist.
Damit ist der Satz bewiesen.
