Topologische Einbettungen

In der Topologie bezeichnet man eine Einbettung als eine stetige und injektive Abbildung $ f: X \rightarrow Y $ zwischen zwei topologischen Räumen $ X $ und $ Y $, bei der $ f $ einen Homöomorphismus zwischen $ X $ und seinem Bild $ f(X) $ erzeugt. Dabei wird $ f(X) $ mit der von $ Y $ induzierten Teilraumtopologie versehen.

Einfach gesagt beschreibt eine Einbettung eine Abbildung, die einen Raum $ X $ verlustfrei in einen größeren Raum $ Y $ „hineinlegt“, ohne seine topologische Struktur zu verändern.

Formal ist eine Abbildung genau dann eine Einbettung, wenn sie drei zentrale Eigenschaften erfüllt:

$ f $ ist stetig;
$ f $ ist injektiv, das heißt, verschiedene Punkte aus $ X $ bleiben auch in $ Y $ verschieden;
die Umkehrabbildung $ f^{-1} $, definiert auf dem Bild $ f(X) $, ist ebenfalls stetig.

Diese Bedingungen stellen sicher, dass $ X $ und $ f(X) $ topologisch „gleich aussehen“. Deshalb kann man $ f(X) $ als Teilraum von $ Y $ auffassen, also $ f(X) \subset Y $.

Ein konkretes Beispiel
Einbettung vs. Homöomorphismus

Ein konkretes Beispiel

Um die Definition greifbarer zu machen, betrachten wir zwei einfache topologische Räume:

Raum $ X $
Die Menge $ X = \{a, b, c\} $ mit der Topologie $ \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} $.
Raum $ Y $
Die Menge $ Y = \{1, 2, 3, 4\} $ mit der Topologie $ \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} $.

Wir definieren eine Abbildung $ f: X \rightarrow Y $ durch:

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

Nun überprüfen wir Schritt für Schritt, ob $ f $ eine Einbettung ist.

1] Stetigkeit von $ f $

Eine Abbildung ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge in $ Y $ eine offene Menge in $ X $ ist (siehe Definition über offene Mengen).

$ f^{-1}(\emptyset) = \emptyset $, offen in $ X $;
$ f^{-1}(\{1\}) = \{a\} $, offen in $ X $;
$ f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} $, offen in $ X $;
$ f^{-1}(\{1, 2, 3\}) = X $, offen in $ X $;
$ f^{-1}(Y) = X $, offen in $ X $.

Alle Urbilder offener Mengen sind wieder offen. Daher ist $ f $ stetig.

2] Injektivität

Die Abbildung ist injektiv, da jedes Element aus $ X $ auf genau ein unterschiedliches Element in $ Y $ abgebildet wird:

$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$

3] Stetigkeit der Umkehrabbildung

Das Bild der Abbildung ist $ f(X) = \{1, 2, 3\} \subset Y $.

Auf diesem Bild betrachten wir die Teilraumtopologie:

$$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\} $$

Bemerkung. Die Teilraumtopologie entsteht, indem man jede offene Menge des Raums $ Y $ mit der Teilmenge $ f(X) $ schneidet.

$ Y = \{1, 2, 3, 4\} $ mit $ \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} $
$ f(X) = \{1, 2, 3\} $

Die Schnitte sind:

$ \emptyset \cap \{1, 2, 3\} = \emptyset $
$ \{1\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1\} $
$ \{1, 2\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2\} $
$ \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} $
$ \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} $

Nun prüfen wir die Stetigkeit von $ f^{-1} $:

$ \emptyset $ bleibt $ \emptyset $, also offen;
$ \{a\} $ hat das Urbild $ \{1\} $, offen;
$ \{a, b\} $ hat das Urbild $ \{1, 2\} $, offen;
$ X $ hat das Urbild $ \{1, 2, 3\} $, offen.

Damit ist auch die Umkehrabbildung stetig.

Fazit: Die Abbildung $ f $ ist eine Einbettung. Sie ist stetig, injektiv und besitzt eine stetige Umkehrabbildung auf ihrem Bild.

Obwohl $ f(X) = \{1, 2, 3\} $ nicht ganz $ Y $ ist, übernimmt es eine Topologie, die exakt der von $ X $ entspricht.

Einbettung vs. Homöomorphismus

Zum Abschluss lohnt sich ein kurzer Vergleich.

Homöomorphismus
Eine bijektive, stetige Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung. Sie beschreibt eine vollständige Übereinstimmung zweier topologischer Räume.
Einbettung
Eine Abbildung, die einen Raum in einen größeren einfügt und dabei seine Struktur exakt erhält, allerdings nur auf ihrem Bild.

Kurz gesagt: Ein Homöomorphismus vergleicht zwei ganze Räume, eine Einbettung platziert einen Raum strukturerhaltend innerhalb eines anderen.

Und so weiter...