Eine stetige Funktion ist nicht notwendigerweise eine offene Abbildung

Eine stetige Funktion $ f : X \to Y $ bildet offene Mengen von $ X $ nicht zwingend auf offene Mengen von $ Y $ ab.

Stetigkeit bedeutet also nicht automatisch, dass offene Mengen erhalten bleiben. Genau darin unterscheidet sie sich von offenen Abbildungen.

Daher gilt: Eine stetige Funktion ist nicht automatisch eine offene Abbildung.

Was versteht man unter einer offenen Abbildung ? Eine offene Abbildung $ f : X \to Y $ ist eine Funktion, die jede offene Menge in $ X $ auf eine offene Menge in $ Y $ abbildet.

Mit anderen Worten: Auch wenn eine Funktion stetig ist, folgt daraus keineswegs, dass das Bild einer offenen Menge im Definitionsbereich im Zielraum ebenfalls offen sein muss.

Ein anschauliches Beispiel
Stetige Funktionen und offene Abbildungen im Vergleich

Ein anschauliches Beispiel

Betrachten wir die Funktion $ f(x) = x^2 $, die auf ganz $ \mathbb{R} $ stetig ist.

Sei die offene Menge $ (-2, 2) \subset \mathbb{R} $ gegeben, also die Menge aller reellen Zahlen, die strikt zwischen $ -2 $ und $ 2 $ liegen.

Wenden wir nun die Funktion $ f(x) = x^2 $ auf diese Menge an.

$$ f(-2) = (-2)^2 = 4 \\ f(0) = 0^2 = 0 \\ f(2) = 2^2 = 4 $$

Das Bild der offenen Menge $ (-2, 2) $ unter $ f(x) = x^2 $ ist das Intervall $ [0, 4) $. Dieses Intervall ist in $ \mathbb{R} $ nicht offen.

Zwar gehört der Punkt $ 0 $ zum Bild, jedoch gibt es keine Umgebung von $ 0 $, die vollständig in $ [0, 4) $ enthalten ist, da $ 0 $ einen abgeschlossenen Randpunkt des Intervalls darstellt.

Dieses Beispiel macht deutlich: Auch wenn $ f(x) = x^2 $ stetig ist, bildet sie eine offene Menge nicht zwingend auf eine offene Menge ab.

Folglich ist $ f(x) = x^2 $ trotz ihrer Stetigkeit auf ganz $ \mathbb{R} $ keine offene Abbildung.

Stetige Funktionen und offene Abbildungen im Vergleich

Stetigkeit und Offenheit sind zwei unterschiedliche Eigenschaften, die den Umgang mit offenen Mengen aus verschiedenen Blickrichtungen beschreiben.

Stetige Funktion (im topologischen Sinn)
Eine Funktion $ f : X \to Y $ heißt stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge in $ Y $ eine offene Menge in $ X $ ist. Das heißt: Für jede offene Menge $ U \subset Y $ ist $ f^{-1}(U) $ offen in $ X $.
Stetigkeit beschreibt also, was passiert, wenn man offene Mengen aus dem Zielraum über die Funktion in den Definitionsbereich zurückholt. Sie macht keinerlei Aussage darüber, wie sich offene Mengen unter der direkten Abbildung verhalten.
Offene Abbildungen (offene Funktionen)
Eine Funktion $ f : X \to Y $ heißt offen, wenn sie jede offene Menge in $ X $ auf eine offene Menge in $ Y $ abbildet. Für jede offene Menge $ V \subset X $ ist also $ f(V) $ offen in $ Y $.
Offenheit betrachtet die direkte Abbildung offener Mengen vom Definitionsbereich in den Zielraum. Bedingungen an die Urbilder offener Mengen werden dabei nicht gestellt.

Zusammengefasst: Stetigkeit beschreibt das Verhalten von Urbildern offener Mengen, Offenheit hingegen das Verhalten ihrer direkten Bilder. Es handelt sich um zwei grundlegende, voneinander unabhängige Eigenschaften, die unterschiedliche Aspekte einer Funktion erfassen.

Und so weiter.