Komposition stetiger Abbildungen
Sind \( f : X \to Y \) und \( g : Y \to Z \) zwei stetige Abbildungen, dann ist auch ihre Komposition \( g \circ f : X \to Z \) stetig.
In der Topologie und in der Analysis gehört dieses Resultat zu den grundlegenden Eigenschaften stetiger Abbildungen. Es besagt, dass Stetigkeit beim Hintereinanderausführen von Abbildungen erhalten bleibt.
Betrachten wir zwei Abbildungen
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
Zuerst wird \( f \) angewendet und anschließend \( g \). Die so entstehende zusammengesetzte Abbildung nennt man Komposition und schreibt sie als \( g \circ f \).
Der Satz stellt sicher, dass diese neue Abbildung ebenfalls stetig ist. Die Stetigkeit geht also bei der Komposition nicht verloren.
Anschauliches Beispiel
Betrachten wir ein einfaches Beispiel der Komposition \( g \circ f(x) \). Dabei ist \( f \) die innere Abbildung und \( g \) die äußere Abbildung.
$$ f(x) = x^2 \quad \text{definiert auf} \quad \mathbb{R} $$
$$ g(y) = \frac{y}{2} \quad \text{definiert auf} \quad \mathbb{R} $$
Beide Abbildungen sind auf der Menge \( \mathbb{R} \) stetig.
Untersuchen wir nun die zusammengesetzte Abbildung \( g \circ f(x) \).
Betrachten wir dazu das offene Intervall \( (-2,2) \subset \mathbb{R} \).
Wenden wir zunächst \( f \) auf dieses Intervall an. Da \( f(x)=x^2 \) nur positive Werte annimmt, erhalten wir als Bild das Intervall \( (0,4) \).
Dieses Intervall liegt vollständig im Definitionsbereich von \( g \) und kann daher als Eingabebereich für \( g \) verwendet werden.
Wenden wir nun \( g \) auf das Intervall \( (0,4) \) an. Da \( g(y)=\frac{y}{2} \), erhalten wir als Bild das Intervall \( (0,2) \), das ebenfalls offen ist.
Das bedeutet, dass das Urbild von \( (0,2) \) unter der zusammengesetzten Abbildung
$$ g \circ f(x) = \frac{x^2}{2} $$
wieder eine offene Menge ist.
Damit erfüllt die zusammengesetzte Abbildung die Bedingung der Stetigkeit auf diesem Intervall.
Dasselbe Argument lässt sich auf jede offene Teilmenge von \( \mathbb{R} \) anwenden. Daher ist \( g \circ f \) auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig.
Formaler Beweis
Wir zeigen nun formal, dass die Komposition zweier stetiger Abbildungen stets stetig ist.
- \( f : X \to Y \)
- \( g : Y \to Z \)
Sei \( U \subseteq Z \) eine offene Menge. Um die Stetigkeit von \( g \circ f \) zu zeigen, müssen wir nachweisen, dass das Urbild
$$ (g \circ f)^{-1}(U) $$
eine offene Teilmenge von \( X \) ist.
Da \( g \) stetig ist, ist das Urbild \( g^{-1}(U) \) eine offene Menge in \( Y \).
Da auch \( f \) stetig ist, ist das Urbild
$$ f^{-1}(g^{-1}(U)) $$
eine offene Menge in \( X \).
Dieses Urbild ist genau
$$ (g \circ f)^{-1}(U). $$
Daher ist \( (g \circ f)^{-1}(U) \) offen in \( X \).
Damit ist gezeigt, dass \( g \circ f \) die Definition der Stetigkeit erfüllt. Das Urbild jeder offenen Menge ist wieder offen.
