Satz über stetige Abbildungen und den Abschluss

Sei $ f : X \to Y $ eine stetige Abbildung und $ A \subset X $. Liegt ein Punkt $ x \in X $ im Abschluss von $ A $, also $ x \in Cl(A) $, dann liegt auch sein Bild $ f(x) $ im Abschluss der Bildmenge. Formal ausgedrückt gilt $ f(x) \in Cl(f(A)) $.

Die Aussage bringt eine zentrale Idee der Topologie auf den Punkt. Stetigkeit bewahrt nicht nur Grenzwerte, sondern auch die Nähebeziehung zu Mengen. Was sich an $ A $ „annähert“, wird durch $ f $ auf etwas abgebildet, das sich an $ f(A) $ annähert.

Topologisch formuliert: Befindet sich $ x $ beliebig nah an $ A $, so befindet sich $ f(x) $ beliebig nah an $ f(A) $. Die Abbildung kann Werte verändern, aber sie zerstört keine Adhärenz.

Veranschaulichendes Beispiel
Beweis

Veranschaulichendes Beispiel

Betrachten wir die stetige Abbildung $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ mit $ f(x) = x^2 $. Als Menge wählen wir $ A = (0, 2) \subseteq \mathbb{R} $.

$$ A = (0,2) $$

Der Abschluss von $ A $ ist $ Cl(A) = [0, 2] $. Neben allen Punkten des offenen Intervalls gehören auch die Randpunkte $ 0 $ und $ 2 $ dazu. Diese liegen nicht in $ A $, sind jedoch Häufungspunkte.

$$ Cl(A) = [0,2] $$

Das Bild der Menge unter $ f $ ergibt $ f(A) = (0, 4) $. Für $ x \in (0,2) $ nimmt $ x^2 $ genau die Werte zwischen $ 0 $ und $ 4 $ an.

$$ f(A) = (0,4) $$

Der Abschluss der Bildmenge ist folglich $ Cl(f(A)) = [0, 4] $. Die Endpunkte entstehen als Grenzwerte der Funktion.

$$ Cl(f(A)) = [0,4] $$

Nun zeigt sich die Kernaussage des Satzes konkret:

Der Randpunkt $ x = 0 \in Cl(A) $ wird auf $ f(0) = 0 \in Cl(f(A)) $ abgebildet.
Der Randpunkt $ x = 2 \in Cl(A) $ wird auf $ f(2) = 4 \in Cl(f(A)) $ abgebildet.
Alle Punkte $ x \in (0,2) \subset Cl(A) $ besitzen Bilder innerhalb von $ Cl(f(A)) $.

Das Beispiel macht sichtbar, was der Satz allgemein garantiert. Abschluss bleibt unter stetigen Abbildungen erhalten.

Beweis

Sei $ f : X \to Y $ stetig, $ x \in X $ und $ A \subset X $.

Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, $ f(x) \notin Cl(f(A)) $.

$$ f(x) \notin Cl(f(A)) $$

Dann existiert nach Definition des Abschlusses eine offene Menge $ B \subseteq Y $, sodass $ f(x) \in B $ und $ B \cap f(A) = \emptyset $.

Es gibt also eine Umgebung von $ f(x) $, die keinen Punkt aus $ f(A) $ enthält.

Da $ f $ stetig ist, ist das Urbild $ f^{-1}(B) $ offen in $ X $ und enthält den Punkt $ x $.

Aus $ B \cap f(A) = \emptyset $ folgt unmittelbar $ f^{-1}(B) \cap A = \emptyset $.

Damit existiert eine offene Menge in $ X $, die $ x $ enthält und disjunkt zu $ A $ ist. Das widerspricht der Voraussetzung $ x \in Cl(A) $.

Die Annahme ist also falsch. Folglich gilt zwingend $ x \in Cl(A) \Rightarrow f(x) \in Cl(f(A)) $.

Bemerkung : Der entscheidende Schritt nutzt eine fundamentale Eigenschaft stetiger Abbildungen. Das Urbild einer offenen Menge ist offen. Genau diese Strukturerhaltung überträgt das Adhärenzverhalten von $ A $ auf $ f(A) $.

Damit ist der Beweis abgeschlossen.